Question

2．如圖，矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°，點P是線段AC上的動點，點Q是線段CD上的動點，則AQ+QP的最小值是4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 以CD為軸，將△ACD往上翻轉180°，由已知的邊角關系可知△A′CA為等邊三角形，求出A′C邊上的高線，由“直線外一點到這條直線中，垂線段最短”即可得出結論．

解答 解：以CD為軸，將△ACD往上翻轉180°，如圖，

過點A作AE⊥A′C于E點，AE交CD于F點，
當Q與F點重合，P′與E點重合時，AQ+QP=AF+EF=AE最短（直線外一點到這條直線中，垂線段最短），
∵矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°，
∴∠A′CD=∠ACD=∠CAB=30°，
∴∠A′CA=60°，
又∵AC=A′C，
∴△A′CA為等邊三角形，且A′A=2AD=8，
AE=A′A•sin∠A′CA=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了軸對稱圖形的性質以及點到直線的距離，解題的關鍵是以CD為軸，將△ACD往上翻轉180°，找出A′C邊上的高線．