Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點A為坐標原點，點B在x軸正半軸，點D在y軸正半軸，點C坐標為（6，m），點E是CD的中點，以CE為一邊在矩形ABCD的內部作矩形CEFG，使點F在直線y=x上，交線段BC于點G，直線DG的函數表達式為y=- x+4，直線DG和AF交于點H．

（1）求m的值；
（2）求點H的坐標；
（3）判斷直線BE是否經過點H，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線DG的函數表達式為y=﹣ x+4，

∴D（0，4），

∵四邊形ABCD是矩形，且C（6，m），

∴m=4，

∴C（6，4）

（2）解：∵直線AF：y=x與直線DG：y=﹣ x+4的交點為H，

∴ ，

∴ ，

∴H（ ， ）

（3）解：直線BE過點H，

理由：

∵直線DG解析式為y=﹣ x+4，直線BC解析式為x=6，

∴G（6，3），

∴點F的縱坐標為3，

∵點F在直線AF上，

∴F點的橫坐標為3，

∴F（3，3），

∴點E的橫坐標為3，

∵直線DC解析式為y=4，

∴E（3，4），

∵B（6，0），

∴直線BE解析式為y=﹣ x+8，

當x= 時，y=﹣ × +8= ，

∴直線BE過點H

【解析】（1） 根據直線DG的解析式求出其與y軸交點D的坐標，根據正方形的對邊批平行性質，平行于x軸的直線上的點的縱坐標相同及C點的坐標求出m的值，從而得出答案；
（2）求直線AF：y=x與直線DG：y=﹣ x+4的交點H的坐標，即求兩直線解析式組成的方程組的解；
（3）直線DG解析式與直線BC解析式求出G點的坐標，根據平行于x軸的直線縱坐標相等得出點F的縱坐標為3，又點F在直線AF上，故F點的橫坐標為3，從而得出F點的坐標，又因E,F所在的直線平行于y軸，故點E的橫坐標為3，又直線DC解析式為y=4，故E（3，4）用待定系數法求出直線BE解析式，根據一次函數圖像上點的坐標特點判斷即可。

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解確定一次函數的表達式的相關知識，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法．