Question

如圖，△中，，．是的中點，⊙與AC，BC分別相切于點與點．與的一個交點為F，連結(jié)并延長交的延長線于點．若=，則__.

 

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：連接OD，由AC為圓O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD與AC垂直，又AC=BC，且∠C=90°，得到三角形ABC為等腰直角三角形，得到∠A=45°，在直角三角形ABC中，由AC與BC的長，根據(jù)AB的長，又O為AB的中點，從而得到AO等于BO都等于AB的一半，求出AO與BO的長，再由OB-OF求出FB的長，同時由OD和GC都與AC垂直，得到OD與GC平行，得到一對內(nèi)錯角相等，再加上對頂角相等，由兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形ODF與三角形GBF相似，由相似得比例，把OD，OF及FB的長代入即可求出GB的長．

連接OD

∵CD切⊙O于點D，

∴∠ODA=90°，∠DOA=45°，

∵OD=OF，

∴∠ODF=∠OFD=∠DOA=22.5°，

∴∠CDG=∠CDO-∠ODF=90°-22.5°=67.5°．

∵AC為圓O的切線，

∴OD⊥AC，

又∵O為AB的中點，

∴AO=BO=AB=2，

∴圓的半徑DO=FO=AOsinA=2×=2，

∴BF=OB-OF=2-2．

∵GC⊥AC，OD⊥AC，

∴OD∥CG，

∴∠ODF=∠G，又∠OFD=∠BFG，

∴△ODF∽△BGF，

考點：切圓的綜合知識

點評：圓與相似三角形，及三角函數(shù)相融合的解答題、與切線有關(guān)的性質(zhì)與判定有關(guān)的證明題是近幾年中考的熱點，故要求學(xué)生把所學(xué)知識融匯貫穿，靈活運用．