Question

（2013•廊坊一模）圓的滾動(dòng)問(wèn)題探索：
（1）如圖1，一個(gè)半徑為r的圓沿直線方向從A地滾動(dòng)到B地，若AB的長(zhǎng)為m，則該圓在滾動(dòng)過(guò)程中自轉(zhuǎn)了

m

2πr

圈．（用含的式子表示）
試驗(yàn)：
現(xiàn)有兩個(gè)半徑相等的圓（如圖5），將⊙O₂固定，⊙O₁沿定圓的周?chē)鷿L動(dòng)，滾動(dòng)時(shí)兩圓保持相外切的位置關(guān)系．當(dāng)⊙O₁沿⊙O₂周?chē)鷿L動(dòng)一周回到原來(lái)的位置時(shí)，⊙O₁自轉(zhuǎn)了2圈，而⊙O₁的圓心運(yùn)動(dòng)的線路也是一個(gè)圓，而這個(gè)圓的周長(zhǎng)恰好是⊙O₁的周長(zhǎng)的2倍．
（2）如圖2，⊙O₁的半徑為r，⊙O₂的半徑為R（R＞r），現(xiàn)將⊙O₂固定，讓?zhuān)�⊙O₁沿⊙O₂的周?chē)鷿L動(dòng)，滾動(dòng)時(shí)兩圓保持相外切的位置關(guān)系．當(dāng)⊙O₁沿⊙O₂沿周?chē)鷿L動(dòng)一周回到原來(lái)的位置時(shí)，⊙O₁自轉(zhuǎn)了

R+r

r

圈；

（3）如圖3，⊙O₁，和⊙O₂內(nèi)切，⊙O₁的半徑為r，⊙O₂的半徑為R（R＞r），現(xiàn)將⊙O₂固定，讓?zhuān)�⊙O₁沿⊙O₂的邊緣滾動(dòng)，動(dòng)時(shí)兩圓保持相內(nèi)切的位置關(guān)系．當(dāng)⊙O₁沿⊙O₂邊緣滾動(dòng)一圈回到原來(lái)的位置時(shí)，⊙O₁自轉(zhuǎn)了

R-r

r

圈．
解決問(wèn)題：
如圖4，一個(gè)等邊三角形與它的一邊相切的圓的周長(zhǎng)相等，當(dāng)此圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，直至回到原來(lái)的位置時(shí)，該圓自轉(zhuǎn)了多少圈？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用圓運(yùn)動(dòng)的距離除以圓的周長(zhǎng)即可得出答案；
（2）利用⊙O₁運(yùn)動(dòng)的距離除以⊙O₁的周長(zhǎng)即可得出答案；
（3）利用⊙O₁運(yùn)動(dòng)的距離除以⊙O₁的周長(zhǎng)即可得出答案；
解決問(wèn)題：根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)得到圓從一邊轉(zhuǎn)到另一邊時(shí)，圓心要繞其三角形的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120°，則圓繞三個(gè)頂點(diǎn)共旋轉(zhuǎn)了360°，即它轉(zhuǎn)了一圈，再加上在三邊作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)時(shí)要轉(zhuǎn)三圈，這樣得到它回到原出發(fā)位置時(shí)共轉(zhuǎn)了4圈．

解答：解：（1）如圖1，一個(gè)半徑為r的圓沿直線方向從A地滾動(dòng)到B地，若AB的長(zhǎng)為m，
則該圓在滾動(dòng)過(guò)程中自轉(zhuǎn)了：

m

2πr

（圈）；
故答案為：

m

2πr

；

（2）∵讓⊙O₁沿⊙O₂的周?chē)鷿L動(dòng)，滾動(dòng)時(shí)兩圓保持相外切的位置關(guān)系，⊙O₁沿⊙O₂沿周?chē)鷿L動(dòng)一周回到原來(lái)的位置，
∴⊙O₁滾動(dòng)的路程為：2π（r+R），
∴⊙O₁自轉(zhuǎn)了

2π(R+r)

2πr

=

R+r

r

（圈）；
故答案為：

R+r

r

；

（3）∵讓⊙O₁沿⊙O₂的邊緣滾動(dòng)，動(dòng)時(shí)兩圓保持相內(nèi)切的位置關(guān)系，⊙O₁沿⊙O₂沿周?chē)鷿L動(dòng)一周回到原來(lái)的位置，
∴⊙O₁滾動(dòng)的路程為：2π（R-r），
∴⊙O₁自轉(zhuǎn)了

2π(R-r)

2πr

=

R-r

r

（圈）；
故答案為：

R-r

r

；

解決問(wèn)題：4圈；
理由：由圓在AB、BC、CA三邊作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)時(shí)，
∵等邊三角形的邊長(zhǎng)與和圓的周長(zhǎng)相等，
∴圓轉(zhuǎn)了3圈，
而圓從一邊轉(zhuǎn)到另一邊時(shí)，圓心繞三角形的一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了三角形的一個(gè)外角的度數(shù)，
圓心要繞其三角形的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120°，
∴圓繞三個(gè)頂點(diǎn)共旋轉(zhuǎn)了360°，即它轉(zhuǎn)了一圈，
∴此圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，直至回到原來(lái)的位置時(shí)，該圓自轉(zhuǎn)了4圈．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用，利用圓運(yùn)動(dòng)的距離除以圓的周長(zhǎng)得出是解題關(guān)鍵．