Question

已知以x為自變量的二次函數(shù)y=x²-（2m-2）x+（m²-m-2）的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，并與x軸相交于點(diǎn)M，且M在原點(diǎn)的右邊．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)N，且△OMN的面積等于3，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）已知函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可將原點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可求得m的值，然后根據(jù)函數(shù)與x軸的另一交點(diǎn)在原點(diǎn)右邊，可將不合題意的m的值舍去．
（2）可根據(jù)三角形OMN的面積求得N點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，然后將其代入拋物線的解析式中即可求得N點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出直線的解析式．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x²-（2m-2）x+（m²-m-2）的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，
∴m²-m-2=0，解得m=-1，m=2．
當(dāng)m=-1時(shí)，二次函數(shù)的解析式為y=x²+4x，它的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并與x軸相交于原點(diǎn)左邊的點(diǎn)（-4，0），（不合題意，舍去）；
當(dāng)m=2時(shí)，二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x，它的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并與x軸相交于原點(diǎn)右邊的點(diǎn)（2，0），符合題意，所以所求的二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x．

（2）由（1）中二次函數(shù)y=x²-2x，它的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與x軸相交于點(diǎn)M（2，0），
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y），則S_△OMN=

1

2

×2×|y|=3，
∴|y|=3，
∵二次函數(shù)y=x²-2x的圖形是開(kāi)口向上，頂點(diǎn)為（1，-1）的拋物線；
∴拋物線上沒(méi)有縱坐標(biāo)為-3的點(diǎn)，
∴y=3，
當(dāng)y=3時(shí)，x²-2x=3，解得x=3，x=-1．
則點(diǎn)N₁（3，3），N₂（-1，3）．
當(dāng)函數(shù)y=kx+b的圖形經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，0），N₁（3，3）時(shí)，則：

2k+b=0 3k+b=3

，
解得

k=3 b=-6

；
∴所求一次函數(shù)的解析式為y=3x-6．
當(dāng)函數(shù)y=kx+b的圖形經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，0），N₂（-1，3）時(shí)，則：

2k+b=0 -k+b=3

，
解得

k=-1 b=2

，
∴所求一次函數(shù)的解析式為y=-x+2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)．