如圖1,平面之間坐標(biāo)系中,等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動,點C的坐標(biāo)為(t,0),直角邊AC=4,經(jīng)過O,C兩點做拋物線(a為常數(shù),a>0),該拋物線與斜邊AB交于點E,直線OA:y2=kx(k為常數(shù),k>0)

(1)填空:用含t的代數(shù)式表示點A的坐標(biāo)及k的值:A     ,k=     ;
(2)隨著三角板的滑動,當(dāng)a=時:
①請你驗證:拋物線的頂點在函數(shù)的圖象上;
②當(dāng)三角板滑至點E為AB的中點時,求t的值;
(3)直線OA與拋物線的另一個交點為點D,當(dāng)t≤x≤t+4,|y2﹣y1|的值隨x的增大而減小,當(dāng)x≥t+4時,|y2﹣y1|的值隨x的增大而增大,求a與t的關(guān)系式及t的取值范圍.
解:(1)∵點C的坐標(biāo)為(t,0),直角邊AC=4,∴點A的坐標(biāo)是(t,4)。
∵直線OA:y2=kx(k為常數(shù),k>0),∴4=kt,則(k>0)。
(2)①當(dāng)a=時,,其頂點坐標(biāo)為。
對于,當(dāng)x=時,
∴點在拋物線上。
∴當(dāng)a=時,拋物線的頂點在函數(shù)的圖象上。
②如圖1,過點E作EK⊥x軸于點K,

∵AC⊥x軸,∴AC∥EK。
∵點E是線段AB的中點,∴K為BC的中點。
∴EK是△ACB的中位線。
∴EK=AC=2,CK=BC=2。∴E(t+2,2)。
∵點E在拋物線上,
,解得t=2。
∴當(dāng)三角板滑至點E為AB的中點時,t=2。
(3)如圖2,由,

解得,或x=0(不合題意,舍去)。
∴點D的橫坐標(biāo)是。
當(dāng)時,|y2﹣y1|=0,由題意得,即
,
∴當(dāng)時,取得最大值。
又當(dāng)時,取得最小值0,
∴當(dāng)時,的值隨x的增大而減小,當(dāng)時,的值隨x的增大而增大。
由題意,得,將代入得,解得。
綜上所述,a與t的關(guān)系式為,t的取值范圍為

試題分析:(1)根據(jù)題意易得點A的橫坐標(biāo)與點C的相同,點A的縱坐標(biāo)即是線段AC的長度;把點A的坐標(biāo)代入直線OA的解析式來求k的值:
(2)①求得拋物線y1的頂點坐標(biāo),然后把該坐標(biāo)代入函數(shù),若該點滿足函數(shù)解析式,即表示該頂點在函數(shù)圖象上;反之,該頂點不在函數(shù)圖象上。
②如圖1,過點E作EK⊥x軸于點K.則EK是△ACB的中位線,所以根據(jù)三角形中位線定理易求點E的坐標(biāo),把點E的坐標(biāo)代入拋物線即可求得t=2。
(3)如圖2,根據(jù)拋物線與直線相交可以求得點D橫坐標(biāo)是,則,由此可以求得a與t的關(guān)系式。由求得取得最大值時的x值,同時由時,取得最小值0,得出當(dāng)時,的值隨x的增大而減小,當(dāng)時,的值隨x的增大而增大。從而由題意,得,結(jié)合,求出t的取值范圍。
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已知△ABC中,邊BC的長與BC邊上的高的和為20.
(1)寫出△ABC的面積y與BC的長x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出面積為48時BC的長;
(2)當(dāng)BC多長時,△ABC的面積最大?最大面積是多少?
(3)當(dāng)△ABC面積最大時,是否存在其周長最小的情形?如果存在,請說出理由,并求出其最小周長;如果不存在,請給予說明.

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已知:關(guān)于x的二次函數(shù)(a>0),點A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)都在這個二次函數(shù)的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)y1=y2,請說明a必為奇數(shù);
(2)設(shè)a=11,求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值;
(3)對于給定的正實數(shù)a,是否存在n,使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形?如果存在,求n的值(用含a的代數(shù)式表示);如果不存在,請說明理由.

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如圖,已知以E(3,0)為圓心,以5為半徑的⊙E與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,拋物線經(jīng)過A,B,C三點,頂點為F.

(1)求A,B,C三點的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式及頂點F的坐標(biāo);
(3)已知M為拋物線上一動點(不與C點重合),試探究:
①使得以A,B,M為頂點的三角形面積與△ABC的面積相等,求所有符合條件的點M的坐標(biāo);
②若探究①中的M點位于第四象限,連接M點與拋物線頂點F,試判斷直線MF與⊙E的位置關(guān)系,并說明理由.

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如圖,已知拋物線經(jīng)過A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原點O,頂點為C

(1)求拋物線的函數(shù)解析式.
(2)設(shè)點D在拋物線上,點E在拋物線的對稱軸上,且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形,求點D的坐標(biāo).
(3)P是拋物線上第一象限內(nèi)的動點,過點P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在點P,使得以P,M,A為頂點的三角形與△BOC相似?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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(2)判斷△CDB的形狀并說明理由;
(3)將△COB沿x軸向右平移t個單位長度(0<t<3)得到△QPE.△QPE與△CDB重疊部分(如圖中陰影部分)面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍.

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(2)若點在某反比例函數(shù)的圖像上,要使該反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是的增大而增大,求應(yīng)滿足的條件以及的取值范圍;
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