Question

8．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=60°，點E為四邊形ABCD內(nèi)部一點，連接AE、BE，∠AEB=∠CBE=90°，BC=3，則線段BE的長為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖，延長AE交CD于F，交BD于O，連接BF．由△AOB∽△DOF，推出$\frac{AO}{DO}$=$\frac{BO}{OF}$，推出$\frac{AO}{BO}$=$\frac{DO}{OF}$，由∠AOD=∠BOF，推出△AOD∽△BOF，推出∠AFB=∠ADB=60°，推出∠BFC=∠C=60°，推出△BFC是等邊三角形，延長即可解決問題．

解答 解：如圖，延長AE交CD于F，交BD于O，連接BF．

∵∠AEB=∠CBE=90°，
∴AF∥BC，
∴∠OFD=∠C=60°，
∵∠ADB=60，AD=AB，
∴△ADB是等邊三角形，
∴∠ABD=60°，
∵∠ABO=∠DFO，∠AOB=∠DOF，
∴△AOB∽△DOF，
∴$\frac{AO}{DO}$=$\frac{BO}{OF}$，
∴$\frac{AO}{BO}$=$\frac{DO}{OF}$，∵∠AOD=∠BOF，
∴△AOD∽△BOF，
∴∠AFB=∠ADB=60°，
∴∠BFC=∠C=60°，
∴△BFC是等邊三角形，
在Rt△EBF中，∵∠BEF=90°，BF=BC=3，∠EFB=60°，
∴EB=BF•sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故答案為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．