(1)如圖1,已知矩形ABCD中,點(diǎn)E是BC上的一動點(diǎn),過點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F,EG⊥AC于點(diǎn)G,CH⊥BD于點(diǎn)H,試證明CH=EF+EG;精英家教網(wǎng)
(2)若點(diǎn)E在BC的延長線上,如圖2,過點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F,EG⊥AC的延長線于點(diǎn)G,CH⊥BD于點(diǎn)H,則EF、EG、CH三者之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系,直接寫出你的猜想;
(3)如圖3,BD是正方形ABCD的對角線,L在BD上,且BL=BC,連接CL,點(diǎn)E是CL上任一點(diǎn),EF⊥BD于點(diǎn)F,EG⊥BC于點(diǎn)G,猜想EF、EG、BD之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系,直接寫出你的猜想;
(4)觀察圖1、圖2、圖3的特性,請你根據(jù)這一特性構(gòu)造一個圖形,使它仍然具有EF、EG、CH這樣的線段的關(guān)系,并滿足(1)或(2)的結(jié)論,寫出相關(guān)題設(shè)的條件和結(jié)論.
分析:(1)要證明CH=EF+EG,首先要想到能否把線段CH分成兩條線段而加以證明,就自然的想到添加輔助線,若作CE⊥NH于N,可得矩形EFHN,很明顯只需證明EG=CN,最后根據(jù)AAS可求證△EGC≌△CNE得出結(jié)論.
(2)過C點(diǎn)作CO⊥EF于O,可得矩形HCOF,因?yàn)镠C=FO,所以只需證明EO=EG,最后根據(jù)AAS可求證△COE≌△CGE得出猜想.
(3)連接AC,過E作EG作EH⊥AC于H,交BD于O,可得矩形FOHE,很明顯只需證明EG=CH,最后根據(jù)AAS可求證△CHE≌△EGC得出猜想.
(4)點(diǎn)P是等腰三角形底邊所在直線上的任意一點(diǎn),點(diǎn)P到兩腰的距離的和(或差)等于這個等腰三角形腰上的高,很顯然過C作CE⊥PF于E,可得矩形GCEF,而且AAS可求證△CEP≌△CNP,故CG=PF-PN.
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:過E點(diǎn)作EN⊥CH于N.
∵EF⊥BD,CH⊥BD,
∴四邊形EFHN是矩形.
∴EF=NH,F(xiàn)H∥EN.
∴∠DBC=∠NEC.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AC=BD,且互相平分
∴∠DBC=∠ACB
∴∠NEC=∠ACB
∵EG⊥AC,EN⊥CH,
∴∠EGC=∠CNE=90°,
又∵EC=CE,
∴△EGC≌△CNE.
∴EG=CN
∴CH=CN+NH=EG+EF;

(2)解:猜想CH=EF-EG;

(3)解:EF+EG=
1
2
BD;

(4)解:點(diǎn)P是等腰三角形底邊所在直線上的任意一點(diǎn),點(diǎn)P到兩腰的距離的和(或差)等于這個等腰三角形腰上的高.如圖①,有CG=PF-PN.
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點(diǎn)評:此題主要考查矩形的性質(zhì)和判定,解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線,構(gòu)造矩形和三角形全等來進(jìn)行證明.
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