Question

一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，它的面積和周長(zhǎng)的數(shù)值相等，這樣的直角三角形是否存在？若存在，確定它三邊的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：假設(shè)符合條件的直角三角形存在，它的三邊長(zhǎng)為a、b、c，其中c為斜邊，則
，
∵a、b、c均為正整數(shù)，
∴a≠b；不妨設(shè)a＞b，則有a+b+=，
兩邊平方，并整理得：-a²b-ab²+2ab=0，
消去ab得：-a-b+2=0，即（a-4）（b-4）=8，
又∵8=1×8=2×4，
∴①，解得，則c=13；
②，解得，則c=10；
綜上所述，符合條件的直角三角形存在，其邊長(zhǎng)分別是5、12、13；6、8、10．共有2個(gè)這樣的直角三角形．
分析：假設(shè)存在符合條件的直角三角形，它的三邊長(zhǎng)為a、b、c，其中c為斜邊，則，于是將存在性問(wèn)題的討論轉(zhuǎn)化為求方程組的解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程的整數(shù)根及有理根、勾股定理的逆定理的應(yīng)用．在解題過(guò)程中，當(dāng)勾股定理不能直接運(yùn)用時(shí)，常需要通過(guò)等線段的代換、作輔助垂線等途徑，為勾股定理的運(yùn)用創(chuàng)造必要的條件，有時(shí)又需要由線段的數(shù)量關(guān)系去判斷線段的位置關(guān)系，這就需要熟悉一些常用的勾股數(shù)組．