Question

如圖所示，Rt△ABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的紙片，點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，已知OA=3，OB=4。將紙片的直角部分翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上，記為D點(diǎn)，AE為折痕，E在y軸上。

（1）在圖所示的直角坐標(biāo)系中，求E點(diǎn)的坐標(biāo)及AE的長；
（2）線段AD上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A、D重合）自A點(diǎn)沿AD方向以每秒1個(gè)單位長度向D點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0<t<3），過P點(diǎn)作PM∥DE交AE于M點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥AD交DE于N點(diǎn)，求四邊形PMND的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t取何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？
（3）當(dāng)t（0<t<3）為何值時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形？并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1） 據(jù)題意，△AOE≌△ADE， ∴OE=DE，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3， 在Rt△AOB中，， 設(shè)DE=OE=x， 在Rt△BED中 BD2+DE2=BE2，即22+x2=（4-x）2，解得， ∴E（0，）， 在Rt△AOE中，；
（2）∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE=90°， ∴四邊形PMND是矩形， ∵AP=t×1=t， ∴PD=3-t， ∵△AMP∽△AED， ∴， ∴PM=， ∴， ∴或， 當(dāng)時(shí)，；
（3）△ADM為等腰三角形有以下二種情況： ①當(dāng)MD=MA時(shí)，點(diǎn)P是AD中點(diǎn)， ∴， ∴（秒）， ∴當(dāng)時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形， 過點(diǎn)M作MF⊥OA于F， ∵△APM≌△AFM， ∴AF=AP=，MF=MP==， ∴OF=OA-AF=3-=， ∴M（，）； ②當(dāng)AD=AM=3時(shí)， △AMP∽△AED， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， ∴當(dāng)秒時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形， 過點(diǎn)M作MF⊥OA于F ∵△AMF≌△AMP， ∴AF=AP=，F(xiàn)M=PM==， ∴OF=OA-AF=3-， ∴M（3-，）。