Question

已知點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為a，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為b，且|2b-6|+（a+1）²=0，A、B之間的距離記作AB，定義：AB=|a-b|．
（1）求線段AB的長．
（2）設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)x，當(dāng)PA-PB=2時(shí)，求x的值．
（3）M、N分別是PA、PB的中點(diǎn)，當(dāng)P移動(dòng)時(shí)，指出當(dāng)下列結(jié)論分別成立時(shí)，x的取值范圍，并說明理由：①PM÷PN的值不變，②|PM-PN|的值不變．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的和為0，各項(xiàng)都為0；
（2）應(yīng)考慮到A、B、P三點(diǎn)之間的位置關(guān)系的多種可能解題；
（3）利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系得出．

解答：解：（1）∵|2b-6|+（a+1）²=0，
∴a=-1，b=3，
∴AB=|a-b|=4，即線段AB的長度為4．

（2）當(dāng)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，
|PA|-|PB|=-（|PB|-|PA|）=-|AB|=-4≠2．
當(dāng)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，
|PA|-|PB|=|AB|=4≠2．
∴上述兩種情況的點(diǎn)P不存在．
當(dāng)P在A、B之間時(shí)，-1≤x≤3，
∵|PA|=|x+1|=x+1，|PB|=|x-3|=3-x，
∴|PA|-|PB|=2，∴x+1-（3-x）=2．
∴解得：x=2；

（3）由已知可得出：PM=

1

2

PA，PN=

1

2

PB，
當(dāng)①PM÷PN的值不變時(shí)，PM÷PN=PA÷PB．

②|PM-PN|的值不變成立．

故當(dāng)P在線段AB上時(shí)，
PM+PN=

1

2

（PA+PB）=

1

2

AB=2，
當(dāng)P在AB延長線上或BA延長線上時(shí)，
|PM-PN|=

1

2

|PA-PB|=

1

2

|AB|=2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，滲透了分類討論的思想，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性，在今后解決類似的問題時(shí)，要防止漏解．
利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時(shí)，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．