Question

如圖，AB是⊙O的弦，D為OA半徑的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于點F，且CE=CB．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）連AF，若BE=9，cosA=

4

5

，求弦AF的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：計算題

分析：（1）連接OB，由圓的半徑相等和已知條件證明∠OBC=90°，即可證明BC是⊙O的切線；
（2）連接AF，OF，過O作OG垂直于AB，利用垂徑定理得到G為AB中點，在直角三角形AOG中，由cos∠OAB的值，設(shè)OA=5x，AB=2AG=8x，AE=AB-BE=8x-9，AD=

1

2

AO=

5

2

x利用兩對角相等的三角形相等得到△ADE∽△AGO，由相似得比例，列出關(guān)于x的方程，即可求出出AF的長．

解答：（1）證明：連接OB，
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°，
∴∠OBA+∠ABC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：連接OF，AF，
∵DA=DO，CD⊥OA，
∴AF=OF=OA，
過點O作OG⊥AB于點G，得到AG=BG，
在Rt△AOG中，cos∠OAB=

AG

OA

=

4

5

，
設(shè)AG=4x，則OA=5x，AB=2AG=8x，AE=AB-BE=8x-9，AD=

1

2

AO=

5

2

x，
∵∠DAE=∠GAO，∠ADE=∠AGO=90°，
∴△ADE∽△AGO，
∴

AD

AG

=

AE

AO

，即

5 2 x

4x

=

8x-9

5x

，
解得：x=

24

13

，
則AF=AO=5x=

120

13

．

點評：此題考查了切線的判定，垂徑定理，銳角三角函數(shù)定義，以及圓周角定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．