如圖1,已知直線y=
2
5
x+2與x軸交于點(diǎn)A,交y軸于C、拋物線y=ax2+4ax+b經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn),拋物線交x軸于另一點(diǎn)B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)Q在拋物線上,且有△AQC和△BQC面積相等,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)如圖2,點(diǎn)P為△AOC外接圓上
ACO
的中點(diǎn),直線PC交x軸于D,∠EDF=∠ACO.當(dāng)∠EDF繞D旋轉(zhuǎn)時(shí),DE交AC于M,DF交y軸負(fù)半軸于N、問(wèn)CN-CM的值是否發(fā)生變化?若不變,求出其值;若變化,求出變化范圍.
(1)由直線AC的解析式可得:A(-5,0),C(0,2);
代入拋物線的解析式中可得:
25a-20a+b=0
b=2
,
解得
a=-
2
5
b=2
;
故拋物線的解析式為:y=-
2
5
x2-
8
5
x+2.

(2)易知B(1,0);
①當(dāng)Q在AC段的拋物線上時(shí),
△ACQ和△BCQ同底,若它們的面積相等,則A、B到直線CQ得距離相等,即CQAB;
由于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=-2,
故Q(-4,2);
②當(dāng)Q在線段AC外的直線上時(shí),
△ACQ的面積為:
1
2
AL•|yC-yQ|,
△BCQ的面積為:
1
2
BL•|yC-yQ|,
若兩個(gè)三角形的面積相等,
那么AL=BL,
即L是線段AB的中點(diǎn),即L(-2,0);
易知直線CL的解析式為:y=x+2,聯(lián)立拋物線的解析式得:
y=-
2
5
x2-
8
5
x+2
y=x+2
,
解得
x=0
y=2
x=-
13
2
y=-
9
2
;
故Q(-
13
2
,-
9
2
);
綜上所述,存在兩個(gè)符合條件的點(diǎn)Q,且坐標(biāo)為:Q(-4,2)或(-
13
2
,-
9
2
).

(3)如圖,設(shè)△AOC的外接圓圓心為S;
作∠NDR=∠PDE,交y軸于R;
則∠PDR=∠MDN=∠ACO;
由于P點(diǎn)是
ACO
的中點(diǎn),由垂徑定理知SP必平行于y軸,得:
∠PSC=∠ACO=∠CDR,∠SPC=∠RCD;
則△SCP△DCR,
所以△CDR也是等腰三角形;
即CD=DR,OC=OR;
∵∠PCS=∠DRC,
∴∠DCM=∠DRN,
又∵∠CDM=∠NDR,CD=DR,
∴△DCM≌△DRN,
得CM=RN,
故CN-CM=CR=2OC;
所以CN-CM的值不變,恒為2OC,即4.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

矩形OABC的頂點(diǎn)A(-8,0)、C(0,6),點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn),拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn),
(1)求點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)及a、b的值;
(2)在y軸上取一點(diǎn)P,使PA+PD長(zhǎng)度最短,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)將拋物線y=ax2+bx向下平移,記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1,點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D1.當(dāng)拋物線平移到某個(gè)位置時(shí),恰好使得點(diǎn)O是y軸上到A1、D1兩點(diǎn)距離之和OA1+OD1最短的一點(diǎn),求此拋物線的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點(diǎn)為C,頂點(diǎn)為M,直線CM的解析式y(tǒng)=-x+2并且線段CM的長(zhǎng)為2
2
,
(1)求拋物線的解析式.
(2)設(shè)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1,0)、B(x2,0),且點(diǎn)A在B的左側(cè),求線段AB的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知⊙P的圓心坐標(biāo)為(1.5,0),半徑為2.5,⊙P與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D.
(1)求D點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(3)設(shè)平行于x軸的直線交此拋物線于E、F兩點(diǎn),問(wèn):是否存在以線段EF為直徑的圓O'恰好與⊙P相外切?若存在,求出其半徑r及圓心O'的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=ax2-5x+4a與x軸相交于點(diǎn)A、B,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(5,4).該拋物線頂點(diǎn)為P.
(1)求a的值和該拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo).
(2)求△PAB的面積;
(3)若將該拋物線先向左平移4個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位,求出平移后拋物線的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(x1,0),B(x2,0)(A在B的左邊),且x1+x2=4.
(1)求b的值及c的取值范圍;
(2)如果AB=2,求拋物線的解析式;
(3)設(shè)此拋物線與y軸的交點(diǎn)為C,頂點(diǎn)為D,對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為E,問(wèn)是否存在這樣的拋物線,使△AOC≌BED全等,如果存在,求出拋物線的解析式;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在直角坐標(biāo)系中,⊙A的半徑為4,圓心A的坐標(biāo)為(2,0),⊙A與x軸交于E、F兩點(diǎn),與y軸交于C、D兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作⊙A的切線BC,交x軸于點(diǎn)B.
(1)求直線CB的解析式;
(2)若拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)在直線BC上,與x軸的交點(diǎn)恰為點(diǎn)E、F,求該拋物線的解析式;
(3)試判斷點(diǎn)C是否在拋物線上;
(4)在拋物線上是否存在三個(gè)點(diǎn),由它構(gòu)成的三角形與△AOC相似?直接寫(xiě)出兩組這樣的點(diǎn).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

向空中發(fā)射一枚炮彈,經(jīng)x秒后的高度為y米,且時(shí)間與高度的關(guān)系為y=ax2+bx+c(a≠0)、若此炮彈在第7秒與第14秒時(shí)的高度相等,則在下列時(shí)間中炮彈所在高度最高的是(  )
A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知直線y=-
1
2
x
與拋物線y=-
1
4
x2+6
交于A、B兩點(diǎn),取與線段AB等長(zhǎng)的一根橡皮筋,端點(diǎn)分別固定在A、B兩處,用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)P將與A、B構(gòu)成無(wú)數(shù)個(gè)三角形,這些三角形中存在一個(gè)面積最大的三角形,最大面積為( 。
A.12
6
B.
125
2
C.
125
4
D.
23
4

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