Question

在四邊形ABCD中，AC、BD是四邊形ABCD的兩條對(duì)角線，點(diǎn)E、F、G、H分別是在四邊形ABCD的四邊上的動(dòng)點(diǎn)，但E、F、G、H不與A、B、C、D重合，且EF∥BD∥GH，F(xiàn)G∥AC∥HE．
（1）若對(duì)角線AC=BD=a（定值），求證：四邊形EFGH的周長(zhǎng)是定值；
（2）若AC=m，BD=n，m、n為定值，但m≠n，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是定值嗎？請(qǐng)指出，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先EF∥BD∥GH，F(xiàn)G∥AC∥HE可以證明四邊形EFGH為平行四邊形，設(shè)GH為x，GF為y，AH=p，BH=q，然后利用平行線分線段成比例可以得到即

AH

AB

=

GH

BD

，

BH

AB

=

HE

AC

，即

q

p+q

=

y

a

，

p

p+q

=

x

a

，然后即可求出x+y，也就求出了四邊形EFGH的周長(zhǎng)，最后就證明了四邊形EFGH的周長(zhǎng)是定值；
（2）利用（1）中的結(jié)論，根據(jù)AC=m，BD=n，求出x+y，然后利用圖形的性質(zhì)討論即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵EF∥BD∥GH，F(xiàn)G∥AC∥HE
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
設(shè)GH為x，GF為y，AH=p，BH=q
∵GH∥BD，BD=a
∴

AH

AB

=

GH

BD

，
即

p

p+q

=

x

a

，
∵HE∥AC，AC=a
∴

BH

AB

=

HE

AC

，
即

q

p+q

=

y

a

，
∴x+y=

a(p+q)

p+q

=a，
故四邊形EFGH的周長(zhǎng)=2（x+y）=2a；

（2）∵AC=m，BD=n，
則有

y

m

=

p

p+q

，

x

n

=

q

p+q

，
∴x+y=

pm+qn

p+q

=

p q m+n

p q +1

，
∵m、n為確定的值，H是AB上的動(dòng)點(diǎn)，

p

q

是變量，
而x+y隨

p

q

的變化而變化，
∴x+y不能確定，即四邊形EFGH的周長(zhǎng)不是定值．

點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，要分類討論，主要考查平行線分線段成比例定理，有的同學(xué)因?yàn)闆]有找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤答案．