Question

如圖，梯形OABC中，BC∥AO，∠BAO=90°，B（-3

3

，3），直線OC的解析式為y=-

3

x，將△OBC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，O到O₁，B到B₁，得△O₁B₁C．
（1）求證：點(diǎn)O₁在x軸上；
（2）將點(diǎn)O₁運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M（-4

3

，0），求∠B₁MC的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，將直線MC向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)直線MC與線段AB交于點(diǎn)P，與線段OC的交于點(diǎn)Q，四邊形OAPQ的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)特殊角的三角形函數(shù)值、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定推知△COO₁為等邊三角形，則∠COA=∠COO₁=60°，即OA與OO₁在同一直線上，所以點(diǎn)O₁在x軸上．
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形是性質(zhì)易證B₁、C、O三點(diǎn)共線．然后根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)以及直角梯形的性質(zhì)證得MC是等腰三角形B₁MO的中垂線，最后由等腰三角形“三合一”的性質(zhì)求得∠B₁MC=

1

2

∠BMO=30°；
（3）根據(jù)圖形知，S_{四邊形OAPQ}=S_梯形PAQN+S_△QNO．然后由梯形的面積公式和三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．由PQ與邊AB有交點(diǎn)來(lái)求m的取值范圍．

解答：（1）證明：如圖1，∵BC∥AO，B（-3

3

，3），
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是3，
又∵直線OC的解析式為y=-

3

x，
∴3=-

3

x，
解得，x=-

3

，則C（-

3

，3）
∴tan∠COA=

3

，
∴∠COA=60°．
∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∠OCO₁=60°，CO=CO₁
∴△COO₁為等邊三角形，
∴∠COO₁=60°
∴∠COA=∠COO₁
∴點(diǎn)O₁在x軸上．

（2）解：如圖2，∵∠COO₁=60°，BC∥AO，
∴∠BCO=120°，
∴B₁CO₁=120°．
∵∠O₁CO=60°，
∴∠B₁CO=180°，
∴B₁、C、O三點(diǎn)共線．
∵C（-

3

，3），
∴CO=CO₁=O₁O=2

3

，
∵M(jìn)O=4

3

，
∴MO₁=O₁O=O₁C，
可證得∠MCO=90°
∵BC=CO=2

3

，BC=B₁C，
∴B₁C=CO，
∴MB₁=MO，
∴∠B₁MC=

1

2

∠BMO=30°；

（3）解：如圖3，設(shè)MC與AB邊交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交PQ于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥OA于點(diǎn)N．
∵AD=1，PD=m，
∴AP=1-m．  
在△CEQ中，CE=m，∠ECQ=30°
∴CQ=

3

2

m，
∴OQ=2

3

-

3

2

m
∴QN=3-

3

4

m，ON=

3

-

3

4

m
∴AN=2

3

+

3

4

m
又∵S_{四邊形OAPQ}=S_梯形PAQN+S_△QNO
∴S=

1

2

+

1

2

（

3

-

3

4

m）（3-

3

4

m）
∴S=-

3

8

m²-2

3

m+

11

2

3

（0＜m＜1）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題．此題涉及的知識(shí)點(diǎn)比較多：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，梯形的面積公式以及三角形的面積公式等．解答（3）題時(shí)，注意“分割法”的應(yīng)用．