Question

某大草原上有一條筆直的公路，在緊靠公路相距40千米的A、B兩地，分別有甲、乙兩個醫(yī)療站，如圖，在A地北偏東45°、B地北偏西60°方向上有一牧民區(qū)C。一天，甲醫(yī)療隊接到牧民區(qū)的求救電話，立刻設計了兩種救助方案，方案I：從A地開車沿公路到離牧民區(qū)C最近的D處，再開車穿越草地沿DC方向到牧民區(qū)C；方案II：從A地開車穿越草地沿AC方向到牧民區(qū)C，已知汽車在公路上行駛的速度是在草地上行駛速度的3倍。
（1）求牧民區(qū)到公路的最短距離CD；
（2）你認為甲醫(yī)療隊設計的兩種救助方案，哪一種方案比較合理？并說明理由。（結果精確到0.1，參考數據：取1.73，取1.41）

Answer 1

解：（1）設CD為x千米，
由題意得，∠CBD=30°，∠CAD=45°，
∴AD=CD=x，
在Rt△BCD中，tan30°=，
∴BD=，
AD+DB=AB=40，
∴x+=40，
解得≈14.7，
∴牧民區(qū)到公路的最短距離CD為14.7千米；
（2）設汽車在草地上行駛的速度為v，則在公路上行駛的速度為3v，
在Rt△ADC中，∠CAD=45°，
∴AC=CD，
方案I用的時間，
方案II用的時間，
∴=，
∵＞0，
∴＞0，
∴方案I用的時間少，方案I比較合理。