Question

（2013•攀枝花）如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，DE⊥x軸于點(diǎn)E，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得△ADM是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出該二次函數(shù)的解析式；
（2）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)N，先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），根據(jù)AC的解析式表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再根據(jù)S_△PAC=S_△PAN+S_△PCN就可以表示出△PAC的面積，運(yùn)用頂點(diǎn)式就可以求出結(jié)論；
（3）分三種情況進(jìn)行討論：①以A為直角頂點(diǎn)；②以D為直角頂點(diǎn)；③以M為直角頂點(diǎn)；設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，t），根據(jù)勾股定理列出方程，求出t的值即可．

解答：解：（1）由于拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-3，0），B（1，0），可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-1），
將C點(diǎn)坐標(biāo)（0，-3）代入，得：
a（0+3）（0-1）=-3，解得 a=1，
則y=（x+3）（x-1）=x²+2x-3，
所以拋物線的解析式為：y=x²+2x-3；

（2）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)N．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m，由題意，得

-3k+m=0 m=-3

，解得

k=-1 m=-3

，
∴直線AC的解析式為：y=-x-3．
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，-x-3），
∴PN=PE-NE=-（x²+2x-3）+（-x-3）=-x²-3x．
∵S_△PAC=S_△PAN+S_△PCN，
∴S=

1

2

PN•OA
=

1

2

×3（-x²-3x）
=-

3

2

（x+

3

2

）²+

27

8

，
∴當(dāng)x=-

3

2

時(shí)，S有最大值

27

8

，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3

2

，-

15

4

）；

（3）在y軸上是存在點(diǎn)M，能夠使得△ADM是直角三角形．理由如下：
∵y=x²+2x-3=y=（x+1）²-4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-4），
∵A（-3，0），
∴AD²=（-1+3）²+（-4-0）²=20．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，t），分三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3①，
由勾股定理，得AM²+AD²=DM²，即（0+3）²+（t-0）²+20=（0+1）²+（t+4）²，
解得t=

3

2

，
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，

3

2

）；
②當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3②，
由勾股定理，得DM²+AD²=AM²，即（0+1）²+（t+4）²+20=（0+3）²+（t-0）²，
解得t=-

7

2

，
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-

7

2

）；
③當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3③，
由勾股定理，得AM²+DM²=AD²，即（0+3）²+（t-0）²+（0+1）²+（t+4）²=20，
解得t=-1或-3，
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-1）或（0，-3）；
綜上可知，在y軸上存在點(diǎn)M，能夠使得△ADM是直角三角形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，

3

2

）或（0，-

7

2

）或（0，-1）或（0，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，勾股定理等知識(shí)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．