Question

（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標系中，⊙A的半徑為1，圓心A點的坐標為（1，﹣2）．直線OM是一次函數(shù)y=x的圖像．讓⊙A沿y軸正方向以每秒1個單位長度移動，移動時間為t．

（1）填空

①直線OM與x軸所夾的銳角度數(shù)為 °；

②當t= 時，⊙A與坐標軸有兩個公共點；

（2）當t＞3時，求出運動過程中⊙A與直線OM相切時的t的值；

（3）運動過程中，當⊙A與直線OM相交所得的弦長為1時，求t的值．

Answer 1

（1）①45°；②t＝1或2或3時⊙A與坐標軸有兩個交點；

（2）t＝；（3）t＝或t＝.

【解析】

試題解析：【解析】
（1）①直線OM與x軸所夾的銳角度數(shù)是45°；

②當點A的坐標是（1，－1）時⊙A與坐標軸有兩個交點，此時t＝1；

當點A的坐標是（1，0）時⊙A與坐標軸有兩個交點，此時t＝2；

當點A的坐標是（1，1）時⊙A與坐標軸有兩個交點，此時t＝3；

所以t＝1或2或3時⊙A與坐標軸有兩個交點；

（2）如下圖所示，當t＝3時，點A的坐標是（1，1），

⊙A與直線OM相交，

所以當t＞3時，⊙A在直線OM上方，

如果⊙A相切，

則AB＝1，

因為直線OM與x軸的夾角是45°，

所以∠ACB＝45°，

點C的坐標是（1，1），

所以BC＝1，

則有AC＝＝，

所以運動的時間是t＝；

（3）如下圖所示，當點A在x軸下方時，

過點A作AB⊥y軸于B，AC⊥OM于C，交x軸于點Q，AH⊥x軸于點H，

⊙A與直線OM交于E、F，

則AB＝OH＝1，AE＝AF＝1，OB＝AH＝2－t，

∵EF＝1，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AC＝AE＝，

∵直線OM與x軸的夾角是45°，

∴△OCQ與△AHQ都是等腰直角三角形，

∴HQ＝AH＝2－t，

∴OQ＝OH－HQ＝t－1，AQ＝ ，

∴CQ＝OQ＝，

∵AC＝CQ＋AQ，

∴，

∴t＝ ；

當點A在x軸上方時，如下圖所示，過點A作AB⊥y軸于B，AC⊥OM于C，

過點A作 AH⊥x軸于點H，交直線OM于點Q，

⊙A與直線OM交于E、F，

則AB＝OH＝1，AE＝AF＝1，OB＝AH＝2－t，

∵EF＝1，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AC＝，

∵直線OM與x軸的夾角是45°，

∴△OCQ與△AHQ都是等腰直角三角形，

∴HQ＝OH＝1，

AQ＝AC＝＝，

∵AH＝HQ＋AQ，

∴，

∴t＝

∴t＝或t＝.

考點：圓的綜合題

點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，本題難度較大綜合性較強，在解決本題時應注意分類討論.