Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC上一點，以AB，BD為鄰邊作?ABDE，連接AD，EC．
（1）求證：△ADC≌△ECD；
（2）若BD=CD，求證：四邊形ADCE是矩形．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABDE是平行四邊形（已知），
∴AB∥DE，AB=DE（平行四邊形的對邊平行且相等）；
∴∠B=∠EDC（兩直線平行，同位角相等）；
又∵AB=AC（已知），
∴AC=DE（等量代換），∠B=∠ACB（等邊對等角），
∴∠EDC=∠ACD（等量代換）；
∵在△ADC和△ECD中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS）；

（2）∵四邊形ABDE是平行四邊形（已知），
∴BD∥AE，BD=AE（平行四邊形的對邊平行且相等），
∴AE∥CD；
又∵BD=CD，
∴AE=CD（等量代換），
∴四邊形ADCE是平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；
在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性質），
∴∠ADC=90°，
∴?ADCE是矩形．
分析：（1）根據平行四邊形的性質、等腰三角形的性質，利用全等三角形的判定定理SAS可以證得△ADC≌△ECD；
（2）利用等腰三角形的“三合一”性質推知AD⊥C=BC，即∠ADC=90°；由平行四邊形的判定定理（對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形）證得四邊形ADCE是平行四邊形，所以有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
點評：本題綜合考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一個角是直角的‘平行四邊形’是矩形”，而不是“有一個角是直角的‘四邊形’是矩形”．