Question

設P為△ABC內一點，∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC．又設D，E分別是△APB及△APC的內心．證明：AP，BD，CE交于一點．

Answer 1

證明：如圖，過P向三邊作垂線，垂足分別為R，S，T．
連RS，ST，RT，設BD交AP于M，CE交AP于N．
易知P，R，A，S；P，T，B，R；P，S，C，T分別四點共圓，則
∠APB-∠ACB=∠PAC+∠PBC（三角形外角性質）
=∠PRS+∠PRT（圓周角定理）
=∠SRT．
同理，∠APC-∠ABC=∠RST，
由條件知∠SRT=∠RST，所以RT=ST．
又RT=PBsinB，ST=PCsinC，
所以PBsinB=PCsinC，那么．
由角平分線定理知．
故M，N重合
∴AP，BD，CE交于一點．
分析：首先過P向三邊作垂線，垂足分別為R，S，T．連RS，ST，RT，設BD交AP于M，CE交AP于N．
證明P、R、A、S；P、T、B、R；P、S、C、T分別四點共圓．再利用外角性質、圓周角定理∠APB-∠ACB=∠SRT、，∠APC-∠ABC=∠RST．最后根據角平分線的性質，即可求證．
點評：本題考查三角形內切圓與內心、四點共圓．證明線共點可用有關定理（如三角形的3條高線交于一點），或證明第3條直線通過另外兩條直線的交點，也可轉化成點共線的問題給予證明．