Question

【題目】對于一個(gè)關(guān)于的代數(shù)式,若存在一個(gè)系數(shù)為正數(shù)關(guān)于的單項(xiàng)式,使 的結(jié)果是所有系數(shù)均為整數(shù)的整式，則稱單項(xiàng)式為代數(shù)式的“整系單項(xiàng)式” ，例如：

當(dāng) 時(shí)，由于 ，故是的整系單項(xiàng)式；

當(dāng) 時(shí)，由于 ，故是的整系單項(xiàng)式；

當(dāng) 時(shí)，由于 ，故是的整系單項(xiàng)式；

當(dāng) 時(shí)，由于 ，故是的整系單項(xiàng)式；

顯然，當(dāng)代數(shù)式存在整系單項(xiàng)式時(shí)，有無數(shù)個(gè)，現(xiàn)把次數(shù)最低，系數(shù)最小的整系單項(xiàng)式記為 ,例如： .

閱讀以上材料并解決下列問題：

⑴.判斷：當(dāng) 時(shí)， 的整系單項(xiàng)式（填“是”或“不是”）；

⑵.當(dāng) 時(shí)， = ;

⑶.解方程：.

Answer 1

【答案】（1）是；（2）；（3）無解.

【解析】

（1）當(dāng)A=時(shí)，F=2x3時(shí)，；

（2）結(jié)合定義進(jìn)行判斷，即可求出F（A）；

（3）結(jié)合定義即可求出F（x+1）=2x，F（1-）=2x2，將所求方程轉(zhuǎn)化為即可求解.

（1）當(dāng)A=時(shí)，F=2x3時(shí)，

∴是2x3的整系單項(xiàng)式；

（2）∵

∴

∵F（A）是A的系數(shù)最小的整系單項(xiàng)式，

∴=；

（3） 易求F（x+1）=2x，F（1-）=2x2，

∴可以化為，

∴x2-2x+1=0，

∴x=1；

經(jīng)檢驗(yàn)x=1是方程的增根，

∴原方程無解.