已知:如圖,拋物線c1經(jīng)過A,B,C三點,頂點為D,且與x軸的另一個交點為E.
(1)求拋物線c1解析式;
(2)求四邊形ABDE的面積;
(3)△AOB與△BDE是否相似,如果相似,請予以證明;如果不相似,請說明理由;
(4)設(shè)拋物線c1的對稱軸與x軸交于點F,另一條拋物線c2經(jīng)過點E(拋物線c2與拋物線c1不重合),且頂點為M(a,b),對稱軸與x軸相交于點G,且以M,G,E為精英家教網(wǎng)頂點的三角形與以D,E,F(xiàn)為頂點的三角形全等,求a,b的值.(只需寫出結(jié)果,不必寫出解答過程)
分析:(1)根據(jù)圖象可得出A、B、C三點的坐標,然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.
(2)由于四邊形ABDE不是規(guī)則的四邊形,因此可過D作DF⊥x軸于F,將四邊形ABDE分成△AOB,梯形BOFD和△DFE三部分來求.
(3)可先根據(jù)坐標系中兩點間的距離公式,分別求出AB、BE、DE、BD的長,然后看兩三角形的線段是否對應(yīng)成比例即可.
(4)要使兩三角形全等,那么兩直角三角形的兩直角邊應(yīng)對應(yīng)相等.
①當(dāng)EF=EG=1,DF=MG=3,此時M點的坐標可能為(5,4),(5,-4),(1,-4).
②當(dāng)EF=MG=1,DF=EG=3,此時M點的坐標可能是(7,1),(7,-1),(-1,1),(-1,-1).
綜上所述可得出a、b的值.
解答:解:(1)設(shè)c1的解析式為y=ax2+bx+c,由圖象可知:c1過A(-1,0),B(0,3),C(2,3)三點.
a-b+c=0
c=3
4a+2b+c=3

解得:
a=-1
b=2
c=3

∴拋物線c1的解析式為y=-x2+2x+3.精英家教網(wǎng)

(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.
∴拋物線c1的頂點D的坐標為(1,4);
過D作DF⊥x軸于F,由圖象可知:OA=1,OB=3,OF=1,DF=4;
令y=0,則-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3
∴OE=3,則FE=2.
S△ABO=
1
2
OA•OB=
1
2
×1×3=
3
2
;
S△DFE=
1
2
DF•FE=
1
2
×4×2=4;
S梯形BOFD=
1
2
(BO+DF)•OF=
7
2

∴S四邊形ABDE=S△AOB+S梯形BOFD+S△DFE=9(平方單位).

(3)如圖,過B作BK⊥DF于K,則BK=OF=1.精英家教網(wǎng)
DK=DF-OB=4-3=1.
∴BD=
DK2+BK2
=
2
,
又DE=
DF2+FE2
=2
5
;
AB=
10
,BE=3
2

在△ABO和△BDE中,
AO=1,BO=3,AB=
10

BD=
2
,BE=3
2
,DE=2
5

AO
BD
=
BO
BE
=
AB
DE
=
1
2

∴△AOB∽△DBE.

(4)
a1=5
b1=4
a2=5
b2=-4
,
a3=7
b3=-1
,
a4=7
b4=1
a5=1
b5=-4
,
a6=-1
b6=-1
,
a7=-1
b7=1
點評:本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形相似、圖形面積的求法等知識點,綜合性強,考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點,它們的橫坐標分別為-1和3,精英家教網(wǎng)與y軸交點C的縱坐標為3,△ABC的外接圓的圓心為點M.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)求圖象經(jīng)過M、A兩點的一次函數(shù)解析式;
(3)在(1)中的拋物線上是否存在點P,使過P、M兩點的直線與△ABC的兩邊AB、BC的交點E、F和點B所組成的△BEF和△ABC相似?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,拋物線的頂點為點D,與y軸相交于點A,直線y=ax+3與y軸也交于點A,矩形ABCO的頂點B在精英家教網(wǎng)此拋物線上,矩形面積為12,
(1)求該拋物線的對稱軸;
(2)⊙P是經(jīng)過A、B兩點的一個動圓,當(dāng)⊙P與y軸相交,且在y軸上兩交點的距離為4時,求圓心P的坐標;
(3)若線段DO與AB交于點E,以點D、A、E為頂點的三角形是否有可能與以點D、O、A為頂點的三角形相似,如果有可能,請求出點D坐標及拋物線解析式;如果不可能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•寧化縣質(zhì)檢)已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(1-
3
,0)和點B,將拋物線沿x軸向上翻折,頂點P落在點P′(1,3)處.
(1)求原拋物線的解析式;
(2)在原拋物線上,是否存在一點,與它關(guān)于原點對稱的點也在該拋物線上?若存在,求滿足條件的點的坐標;若不存在,說明理由.
(3)學(xué)校舉行班徽設(shè)計比賽,九年級(5)班的小明在解答此題時頓生靈感:過點P′作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點,將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉,設(shè)計成一個“W”型的班徽,“5”的拼音開頭字母為W,“W”圖案似大鵬展翅,寓意深遠;而且小明通過計算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個“W”圖案的高與寬(CD)的比非常接近黃金分割比
5
-1
2
(約等于0.618).請你計算這個“W”圖案的高與寬的比到底是多少?(參考數(shù)據(jù):
5
≈2.236
,
6
≈2.449
,結(jié)果精確到0.001)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,如圖,拋物線y=ax2-2ax+c(a≠0)與y軸交于點C(0,4),與x軸交于點A,B,點A的坐標為(4,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若點M在拋物線上,且△ABC與△ABM的面積相等,直接寫出點M的坐標;
(3)點Q是線段AB上的動點,過點Q作QE∥AC,交BC于點E,連接CQ.當(dāng)△CQE的面積最大時,求點Q的坐標;
(4)若平行于x軸的動直線l與線段AC交于點F,點D的坐標為(2,0).問:是否存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請求出直線l的解析式;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知,如圖,拋物線y=x2+px+q與x軸相交于A、B兩點,與y軸交于點C,且OA≠OB,OA=OC,設(shè)拋物線的頂點為點P,直線PC與x軸的交點D恰好與點A關(guān)于y軸對稱.
(1)求p、q的值.
(2)在題中的拋物線上是否存在這樣的點Q,使得四邊形PAQD恰好為平行四邊形?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
(3)連接PA、AC.問:在直線PC上,是否存在這樣點E(不與點C重合),使得以P、A、E為頂點的三角形與△PAC相似?若存在,求出點E的坐標;若不存在,請說明理由.

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