在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A是拋物線y=x2在第二象限上的點(diǎn),連接OA,過點(diǎn)O作OB⊥OA,交拋物線于點(diǎn)B,以O(shè)A、OB為邊構(gòu)造矩形AOBC.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 -1  時(shí),矩形AOBC是正方形;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 時(shí),

①求點(diǎn)B的坐標(biāo);

②將拋物線y=x2作關(guān)于x軸的軸對稱變換得到拋物線y=-x2,試判斷拋物線y=-x2經(jīng)過平移交換后,能否經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)?如果可以,說出變換的過程;如果不可以,請說明理由.

考點(diǎn):  二次函數(shù)綜合題。

專題:  代數(shù)幾何綜合題。www. xkb1.com

分析:  (1)過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D,根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠AOC=45°,所以∠AOD=45°,從而得到△AOD是等腰直角三角形,設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(-a,a),然后利用點(diǎn)A在拋物線上,把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式計(jì)算即可得解;

(2)①過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F,先利用拋物線解析式求出AE的長度,然后證明△AEO和△OFB相似,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OF與BF的關(guān)系,然后利用點(diǎn)B在拋物線上,設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式計(jì)算即可得解;

②過點(diǎn)C作CG⊥BF于點(diǎn)G,可以證明△AEO和△BGC全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CG=OE,BG=AE,然后求出點(diǎn)C的坐標(biāo),再根據(jù)對稱變換以及平移變換不改變拋物線的形狀利用待定系數(shù)法求出過點(diǎn)A、B的拋物線解析式,把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入所求解析式進(jìn)行驗(yàn)證變換后的解析式是否經(jīng)過點(diǎn)C,如果經(jīng)過點(diǎn)C,把拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式解析式,根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)寫出變換過程即可.

解答:  解:(1)如圖,過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D,

∵矩形AOBC是正方形,

∴∠AOC=45°,

∴∠AOD=90°-45°=45°,

∴△AOD是等腰直角三角形,

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-a,a)(a≠0),

則(-a)2=a,

解得a1=-1,a2=0(舍去),

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)-a=-1,

故答案為:-1;

(2)①過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F,

當(dāng)x=- 時(shí),y=(- )2= ,

即OE= ,AE= ,

∵∠AOE+∠BOF=180°-90°=90°,

∠AOE+∠EAO=90°,

∴∠EAO=∠BOF,

又∵∠AEO=∠BFO=90°,

∴△AEO∽△OFB,

∴ = = = ,

設(shè)OF=t,則BF=2t,

∴t2=2t,

解得:t1=0(舍去),t2=2,

∴點(diǎn)B(2,4);

②過點(diǎn)C作CG⊥BF于點(diǎn)G,

∵∠AOE+∠EAO=90°,∠FBO+∠CBG=90°,∠AEO=∠FBO,

∴∠EAO=∠CBG,

在△AEO和△BGC中, ,

∴△AEO≌△BGC(AAS),

∴CG=OE= ,BG=AE= .

∴xc=2- = ,yc=4+ = ,

∴點(diǎn)C( , ),

設(shè)過A(- , )、B(2,4)兩點(diǎn)的拋物線解析式為y=-x2+bx+c,由題意得, ,

解得 ,

∴經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的拋物線解析式為y=-x2+3x+2,

當(dāng)x= 時(shí),y=-( )2+3× +2= ,所以點(diǎn)C也在此拋物線上,

故經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為y=-x2+3x+2=-(x- )2+ .

平移方案:先將拋物線y=-x2向右平移 個單位,再向上平移 個單位得到拋物線y=-(x- )2+ .

點(diǎn)評:  本題是對二次函數(shù)的綜合考查,包括正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),待定系數(shù)法求拋物線解析式,綜合性較強(qiáng),難度較大,要注意利用點(diǎn)的對稱、平移變換來解釋拋物線的對稱平移變換,利用點(diǎn)研究線也是常 用的方法之一.

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