Question

（2009•奉賢區(qū)一模）已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過x軸上點A（1，0）和點B（3，0），且與y軸相交于點C．
（1）求此二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標(biāo)；
（2）求∠CPB的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點A（1，0）和點B（3，0）的坐標(biāo)分別代入y=x²+bx+c，用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；再利用頂點公式求出其頂點坐標(biāo)．
（2）首先根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出點C的坐標(biāo)，再分別計算PB、BC、PC的長度，然后由勾股定理的逆定理，知△PBC是直角三角形，最后根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義求出∠CPB的正弦值．
解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過x軸上點A（1，0）和點B（3，0），
∴，
解得，
∴此二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x+3．
∵-=2，=-1，
∴頂點P的坐標(biāo)為（2，-1）．

（2）∵y=x²-4x+3，
∴當(dāng)x=0時，y=3．
∴點C的坐標(biāo)為（0，3）．
又∵點P的坐標(biāo)為（2，-1），點B的坐標(biāo)為（3，0），
∴PB==，
BC==3，
PC==2，
∴PB²+BC²=PC²，
∴∠PBC=90°，
∴sin∠CPB=．
點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，求拋物線的頂點坐標(biāo)的方法及正弦的定義．
在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．
求拋物線的頂點坐標(biāo)，可用頂點坐標(biāo)公式，拋物線的頂點坐標(biāo)為（-，）；也可以將解析式配方成頂點式來求．
在直角三角形中，一個銳角的正弦等于它的對邊比斜邊．