Question

【題目】如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．直線經(jīng)過點(diǎn)，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)的直線交直線于點(diǎn)．

①當(dāng)時(shí)，過拋物線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），作直線的平行線交直線于點(diǎn)，若以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

②連接，當(dāng)直線與直線的夾角等于的倍時(shí)，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或；②點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）利用一次函數(shù)解析式確定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；

（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判斷△OCB為等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，則△AMB為等腰直角三角形，所以AM=2，接著根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x軸交直線BC于D，如圖1，利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4，設(shè)P（m，-m2+6m-5），則D（m，m-5），討論：當(dāng)P點(diǎn)在直線BC上方時(shí)，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；當(dāng)P點(diǎn)在直線BC下方時(shí)，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分別解方程即可得到P點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，交AC于E，如圖2，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)得到∠AM1B=2∠ACB，再確定N（3，-2），

AC的解析式為y=5x-5，E點(diǎn)坐標(biāo)為（，-），利用兩直線垂直的問題可設(shè)直線EM1的解析式為y=-x+b，把E（，-）代入求出b得到直線EM1的解析式為y=-x-，則解方程組得M1點(diǎn)的坐標(biāo)；作直線BC上作點(diǎn)M1關(guān)于N點(diǎn)的對稱點(diǎn)M2，如圖2，利用對稱性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，設(shè)M2（x，x-5），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐標(biāo)，從而得到滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（1）當(dāng)時(shí)，，則，

當(dāng)時(shí)，，解得，則，

把，代入

得：，解得，

∴拋物線解析式為；

（2）①解方程得，，則，

∵，，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∵以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，，

∴，，

作軸交直線于，如圖1所示，則

∴，

設(shè)，則，

當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，

，解得，，

當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)

，

解得，，

綜上所述，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或；

②作于，軸于，作的垂直平分線交于，交于，如圖2，

∵，

∴，

∵，

∵為等腰直角三角形，

∴，

∴，

易得的解析式為，點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)直線的解析式為，

把代入得，解得，

∴直線的解析式為，

解方程組，得則；

作直線上作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，如圖2，則，

設(shè)，

∵，∴，∴，

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．