Question

15．已知拋物線(xiàn)y=x²-2x-a（a＞0）與y軸相交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為M，直線(xiàn)y=$\frac{1}{2}$x+a分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)B、C兩點(diǎn)，且與直線(xiàn)AM相交于點(diǎn)N．
（1）填空：用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)M與N的坐標(biāo)，得M（1，-a-1），N（-$\frac{4}{3}$a，$\frac{1}{3}$a）；
（2）如圖，將△NAC沿y軸翻折，若點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N′恰好落在拋物線(xiàn)上，AN′與x軸交于點(diǎn)D，連結(jié)CD，求a的值和△CDN′的面積；
（3）在拋物線(xiàn)y=x²-2x-a（a＞0）上是否存在一點(diǎn)P，使得以P、A、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）已知了拋物線(xiàn)的解析式，不難用公式法求出M的坐標(biāo)為（1，-a-1）．由于拋物線(xiàn)過(guò)A點(diǎn)，因此A的坐標(biāo)是（0，-a）．根據(jù)A，M的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可得出直線(xiàn)AM的解析式為y=-x-a．直線(xiàn)AM和y=$\frac{1}{2}$x+a聯(lián)立方程組即可求出N的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)不難得出N與N′正好關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，得出N′的坐標(biāo)．由于N′在拋物線(xiàn)上，因此將N′的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中即可得出a的值．也就能確定N，C的坐標(biāo)．求出△ANC和△ADC的面積，即可得出△CDN的面積；
（3）本題可分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)P在y軸左側(cè)時(shí)，如果使以P，N，A，C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，那么P需要滿(mǎn)足的條件是PN平行且相等于AC，也就是說(shuō)，如果N點(diǎn)向上平移AC個(gè)單位即2a后得到的點(diǎn)就是P點(diǎn)．然后將此時(shí)P的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)中，如果沒(méi)有解說(shuō)明不存在這樣的點(diǎn)P，如果能求出a的值，那么即可求出此時(shí)P的坐標(biāo)．
②當(dāng)P在y軸右側(cè)時(shí)，P需要滿(mǎn)足的條件是PN與AC應(yīng)互相平分（平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分），那么NP必過(guò)原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．那么可得出此時(shí)P的坐標(biāo)，然后代入拋物線(xiàn)的解析式中按①的方法求解即可．

解答 解：（1）M（1，-a-1），N（-$\frac{4}{3}$a，$\frac{1}{3}$a）；
故答案為：1，-a-1；-$\frac{4}{3}$a，$\frac{1}{3}$a；
（2）∵由題意得點(diǎn)N與點(diǎn)N′關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴N′（$\frac{4}{3}$a，$\frac{1}{3}$a）．
將N′的坐標(biāo)代入y=x²-2x-a得：$\frac{1}{3}$a=$\frac{16}{9}$a²-$\frac{8}{3}$a-a，
∴a₁=0（不合題意，舍去），a₂=$\frac{9}{4}$．
∴N（-3，$\frac{3}{4}$），
∴點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離為3．
∵A（0，-$\frac{9}{4}$），N'（3，$\frac{3}{4}$），
∴直線(xiàn)AN'的解析式為y=x-$\frac{9}{4}$，它與x軸的交點(diǎn)為D（$\frac{9}{4}$，0），
∴點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離為$\frac{9}{4}$．
由題知，A（0，a），C（0，-a），
∴點(diǎn)A，C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴AC=2AO，
∴S_△CDN=S_△ACN-S_△ACD=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×3-$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×$\frac{9}{4}$=$\frac{27}{16}$；
（3）存在，理由如下：
①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，若四邊形ACPN是平行四邊形，
則PN∥AC，PN=AC，
則把N向上平移2a個(gè)單位得到P，坐標(biāo)為（-$\frac{4}{3}$a，$\frac{7}{3}$a），
代入拋物線(xiàn)的解析式，得：$\frac{7}{3}$a=$\frac{16}{9}$a²+$\frac{8}{3}$a-a，
解得a₁=0（不舍題意，舍去），a₂=$\frac{3}{8}$，
則P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{8}$）；
②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí)，若四邊形APCN是平行四邊形，則AC與PN互相平分，
則OA=OC，OP=ON．
則P與N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則P（$\frac{4}{3}$a，-$\frac{1}{3}$a）；
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式得：-$\frac{1}{3}$a=$\frac{16}{9}$a²-$\frac{8}{3}$a-a，
解得a₁=0（不合題意，舍去），a₂=$\frac{15}{8}$，
則P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{8}$）．
故存在這樣的點(diǎn)P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{8}$）或P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{8}$），能使得以P，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題目，著重考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、平行四邊形的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．