已知：如圖，直線與x軸相交于點A，與直線相交于點P。

（1）求點P的坐標；
（2）請判斷△OPA的形狀并說明理由；
（3）動點E從原點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著O→P→A的路線向點A勻速運動（E不與點O、A重合），過點E分別作EF⊥x軸于F，EB⊥y軸于B，設運動t秒時，矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S。
求：①S與t之間的函數(shù)關系式；
②當t為何值時，S最大，并求S的最大值。

解：（1），解得，
∴點P的坐標為（2，）；
（2）將y=0代入，
∴，
∴x=4，即OA=4，
做PD⊥OA于D，則OD=2，PD=2，
∵tan∠POA=，
∴∠POA=60°，
∵OP=，
∴△POA是等邊三角形；
（3）①當0<t≤4時，如圖1，
在Rt△EOF中，∵∠EOF=60°，OE=t，
∴EF=，OF=t，
∴S=·OF·EF=，
當4<t<8時，如圖2，
設EB與OP相交于點C，
易知：CE=PE=t-4，AE=8-t，
∴AF=4-t，EF=（8-t），
∴OF=OA-AF=4-（4-t）=t，
∴S=（CE+OF）·EF =（t-4+t）×（8-t）=；
②當0<t≤4時，，t=4時，
∴當t=時，，
當4<t<8時，，
時，，
∵，
∴當時，。
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