Question

12．已知：如圖，△ABC的中線BD、CE交于點O．
（1）求證：$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{2}$；
（2）求證：△ABC的三條中線交于一點．

Answer 1

分析 （1）根據三角形的重心的概念和性質證明；
（2）延長AO與BC相交于點F，過點B作BH∥CE交AO的延長線于H，連接CH，證明四邊形BHCO是平行四邊形，根據平行四邊形的性質證明．

解答 證明：（1）∵△ABC的中線BD、CE交于點O，
∴點O是△ABC的重心，
∴$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{2}$；
（2）如圖，延長AO與BC相交于點F，過點B作BH∥CE交AO的延長線于H，連接CH，
∵CE是△ABC的中線，
∴O是AH的中點，
∵BD是△ABC的中線，
∴OD是△ACH的中位線，
∴OD∥CH，
∴四邊形BHCO是平行四邊形，
∴BF=CF，
∵AF是△ABC的中線，
即三條中線交于一點O．

點評 本題考查的是三角形的重心的概念和性質，三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．