Question

如圖．△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD＝CF，BD⊥CF成立．

(1)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(0°＜＜90°)時，如圖，BD＝CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

(2)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時，如圖，延長BD交CF于點G．

①求證：BD⊥CF；

②當AB＝4，AD＝時，求線段BG的長．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)BD＝CF成立． 　　理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形， 　　∴AB＝AC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝90°， 　　∵∠BAD＝， 　　∠CAF＝， 　　∴∠BAD＝∠CAF， 　　∴△BAD≌△CAF． 　　∴BD＝CF．(3分) 　　(2)①證明：設BG交AC于點M． 　　∵△BAD≌△CAF(已證)，∴∠ABM＝∠GCM． 　　∵∠BMA＝∠CMG，∴△BMA∽△CMG． 　　∴∠BGC＝∠BAC＝90°．∴BD⊥CF．(6分) 　　②過點F作FN⊥AC于點N． 　　∵在正方形ADEF中，AD＝， 　　∴AN＝FN＝． 　　∵在等腰直角△ABC中，AB＝4， 　　∴CN＝AC－AN＝3，BC＝． 　　∴在Rt△FCN中，． 　　∴在Rt△ABM中，． 　　∴AM＝． 　　∴CM＝AC－AM＝4－＝，．(9分) 　　∵△BMA∽△CMG，∴． 　　∴． 　　∴CG＝．(11分) 　　∴在Rt△BGC中，．(12分)