Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂線DE交AC于D，交AB于E，（1）BD平分∠ACB；（2）點D是線段AC的中點；（3）AD=BD=BC；（4）△BDC的周長等于AB+BC，上述結(jié)論正確的是

1. A.
   （1），（2）
2. B.
   （2），（3）
3. C.
   （3），（4）
4. D.
   （1），（3），（4）

Answer 1

D
分析：先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC及∠C的度數(shù)，（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可求出∠A=∠ABD，再由∠ABC的度數(shù)即可求出答案；
（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得到AD=BD，再根據(jù)∠DBC及∠C的度數(shù)即可進(jìn)行判斷；
（3）先判斷出△BCD的形狀，再結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)及可作出判斷；
（4）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AB=AC，再由線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出答案．
解答：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C===72°，
∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∴∠ADB=∠A=36°，
∵∠ABC=72°，
∴∠DBC=36°，
∴BD平分∠ACB，
故此小題正確；
（2）∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴BD＞CD，
∵AD=BD，
∴AD＞CD，
∴點D不是線段AC的中點，故此小題錯誤；
（3）∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，
∴BD=BC，
∵AD=BD，
∴AD=BD=BC，
故此小題正確；
（4）∵BD=AD，
∴△BDC的周長=BC+BD+CD=BC+AC，
∵AB=AC，
∴△BDC的周長等于AB+BC，
故此小題正確．
故選D．
點評：本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等的知識是解答此題的關(guān)鍵．