Question

已知二次函數(shù)y=mx²+nx+p圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是2，與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，與y軸交于點(diǎn)C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，tan∠CAO-tan∠CBO=1．
（1）求證：n+4m=0；
（2）求m、n的值；
（3）當(dāng)p＞0且二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求二次函數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=2，利用對(duì)稱(chēng)軸公式x=，易證n+4m=0；
（2）本問(wèn)利用三角函數(shù)定義和拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)性質(zhì)求解．特別需要注意的是拋物線的開(kāi)口方向未定，所以所求m、n的值將有兩組，不能遺漏；
（3）本問(wèn)利用一元二次方程的判別式等于0求解．當(dāng)p＞0時(shí)，m、n的值隨之確定；將拋物線的解析式與直線的解析式聯(lián)立，得到一個(gè)一元二次方程；由交點(diǎn)唯一可知，此一元二次方程的判別式等于0，據(jù)此求出p的值，從而確定了拋物線的解析式；最后由拋物線的解析式確定其最大值．
解答：（1）證明：∵二次函數(shù)y=mx²+nx+p圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是2，
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=2，
即=2，
化簡(jiǎn)得：n+4m=0．

（2）解：∵二次函數(shù)y=mx²+nx+p與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，
∴OA=-x₁，OB=x₂；x₁+x₂=，x₁•x₂=；
令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|．
由三角函數(shù)定義得：tan∠CAO===，tan∠CBO==．
∵tan∠CAO-tan∠CBO=1，即-=1，
化簡(jiǎn)得：=-，
將x₁+x₂=，x₁•x₂=代入得：=-，
化簡(jiǎn)得：n==±1．
由（1）知n+4m=0，
∴當(dāng)n=1時(shí)，m=；當(dāng)n=-1時(shí)，m=．
∴m、n的值為：m=，n=-1（此時(shí)拋物線開(kāi)口向上）或m=，n=1（此時(shí)拋物線開(kāi)口向下）．

（3）解：由（2）知，當(dāng)p＞0時(shí)，n=1，m=，
∴拋物線解析式為：y=x²+x+p．
聯(lián)立拋物線y=x²+x+p與直線y=x+3解析式得到：x²+x+p=x+3，
化簡(jiǎn)得：x²-4（p-3）=0 ①．
∵二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個(gè)交點(diǎn)，
∴一元二次方程①的判別式等于0，即△=0²+16（p-3）=0，解得p=3．
∴拋物線解析式為：y=x²+x+p=y=x²+x+3=（x-2）²+4，
當(dāng)x=2時(shí)，二次函數(shù)有最大值，最大值為4．
∴當(dāng)p＞0且二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，二次函數(shù)的最大值為4．
點(diǎn)評(píng)：本題要求同學(xué)們熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，包括拋物線的解析式、對(duì)稱(chēng)軸公式、拋物線與x軸的交點(diǎn)、拋物線與一元二次方程的關(guān)系、二次函數(shù)的最值等重要知識(shí)點(diǎn)．作為中考?jí)狠S題，本題難度適中，相信多數(shù)同學(xué)能夠順利解決；難點(diǎn)在于由于題中未明確拋物線的開(kāi)口方向，導(dǎo)致部分同學(xué)感覺(jué)難以下手，或者盲目求解，只得到m、n的一組解（第2問(wèn)），從而導(dǎo)致失分．