Question

如圖，邊長為1的正方形ABCD中，以A為圓心，1為半徑作，將一塊直角三角板的直角頂點P放置在（不包括端點B、D）上滑動，一條直角邊通過頂點A，另一條直角邊與邊BC相交于點Q，連接PC，并設(shè)PQ=x，以下我們對△CPQ進(jìn)行研究．
（1）△CPQ能否為等邊三角形？若能，則求出x的值；若不能，則說明理由；
（2）求△CPQ周長的最小值；
（3）當(dāng)△CPQ分別為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形時分別求x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）假設(shè)△CPQ為等邊三角形時，
一方面x=BQ=PQ=CQ=，
另一方面，連接AQ，
∵∠PAQ=30°，∠APQ=90°，
∴∠AQP=60°，
∵∠PQC=60°，
∴∠AQB=60°，
∴∠BAQ=30°，
∴tan∠BAQ=tan30°=，
∴x=，
∴得出自相矛盾；
∴△CPQ不能為等邊三角形．
（2）△CPQ的周長=PQ+QC+CP=BQ+QC+CP=BC+PC=1+PC；
又∵PC≥AC﹣PA=﹣1，
∴△CPQ的周長≥1+﹣1=，
P運動至點P₀時，△CPQ的周長最小值是．
（3）連接AC，交于P₀，則P₀Q=BQ=x，∠P₀CQ=45°，∠CP₀Q=90°；
∴P₀Q=BQ=x=﹣1，∠PQC=∠PAB＜90°，∠PCQ＜90°．
①當(dāng)P在上運動時，
∵∠APQ=90°，
∴0°＜∠CPQ＜90°，
此時△CPQ是銳角三角形，x＞﹣1．
②當(dāng)P與P₀重合時，∠CPQ=90°，此時△CPQ是直角三角形，x=﹣1．
③當(dāng)P在上運動時，
∵∠APC＜180°，∠APQ=90°，
∴90°＜∠CPQ＜180°，
此時△CPQ是鈍角三角形，x＜﹣1.