Question

已知關于x的一元二次方程 .（其中m為實數）
（1）若此方程的一個非零實數根為k，
① 當k = m時，求m的值；
② 若記為y，求y與m的關系式；
（2）當＜m＜2時，判斷此方程的實數根的個數并說明理由

Answer 1

（1）
①1
②
（2）當＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數根

解：（1）∵ k為的實數根，
∴ .※ …………………………………………1分
① 當k = m時，
∵ k為非零實數根，
∴ m ≠ 0，方程※兩邊都除以m，得.
整理，得 .
解得 ，. ………………………………………………………2分
∵ 是關于x的一元二次方程，
∴ m ≠ 2.
∴ m=" 1." ……………………………………………………………………3分
（閱卷說明：寫對m= 1，但多出其他錯誤答案扣1分）
② ∵ k為原方程的非零實數根，
∴ 將方程※兩邊都除以k，得.…………………4分
整理，得 .
∴ .……………………………………………5分
（2）解法一： .………6分
當＜m＜2時，m＞0，＜0.
∴ ＞0，＞1＞0，Δ＞0.
∴ 當＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數根. ……………7分
解法二：直接分析＜m＜2時，函數的圖象，
∵ 該函數的圖象為拋物線，開口向下，與y軸正半軸相交，
∴ 該拋物線必與x軸有兩個不同交點. …………………………6分
∴ 當＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數根. ……………7分
解法三：.…………6分
結合關于m的圖象可知，（如圖6）

當＜m≤1時，＜≤4；
當1＜m＜2時，1＜＜4.
∴ 當＜m＜2時，＞0.
∴ 當＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數根.…7分