Question

如圖，四邊形ABCO是平行四邊形，AB=4，OB=2，拋物線過A、B、C三點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)D．一動點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動，運(yùn)動到A停止，同時(shí)一動點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿DC向點(diǎn)C運(yùn)動，與點(diǎn)P同時(shí)停止．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的對稱軸與AB交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)間t為何值時(shí)，四邊形POQE是等腰梯形？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AB、OB的長，即可得到A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；由于四邊形ABCO是平行四邊形，則AB=OC，由此可求出OC的長，即可得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸方程，進(jìn)而可求出E、F的坐標(biāo)；若四邊形POQE是等腰梯形，則OP=EQ，而OB=EF，可得BP=FQ，根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系即可求出t的值；
（3）由于∠PBO、∠QOB都是直角，對應(yīng)相等，若以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似，則有兩種情況：
①P、Q在y軸同側(cè)，②P、Q在y軸兩側(cè)；
每種情況又分為△PBO∽△QOB（此時(shí)兩者全等），△PBO∽△BOQ兩種情況；根據(jù)不同的相似三角形所得到的不同的比例線段即可求出t的值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCO是平行四邊形，
∴OC=AB=4
∴A（4，2），B（0，2），C（-4，0）；（1分）
∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)B，
∴c=2（2分）
由題意，有

16a-4b+2=0 16a+4b+2=2

解得

a=- 1 16 b= 1 4

（3分）
∴所求拋物線的解析式為y=-

1

16

x2+

1

4

x+2；（4分）

（2）將拋物線的解析式配方，得y=-

1

16

(x-2)2+2

1

4

∴拋物線的對稱軸為x=2；（5分）
∴D（8，0），E（2，2），F(xiàn)（2，0）
欲使四邊形POQE為等腰梯形，則有OP=QE，即BP=FQ；
∴t=6-3t，
即t=1.5；（7分）


（3）欲使以點(diǎn)P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，
∴有

BP

OB

=

OQ

BO

或

BP

OB

=

BO

OQ

，
即PB=OQ或OB²=PB•QO；
①若P、Q在y軸的同側(cè)；
當(dāng)PB=OQ時(shí)，t=8-3t，
∴t=2．（8分）
當(dāng)OB²=PB•QO時(shí)，t（8-3t）=4，
即3t²-8t+4=0，
解得t=2，t=

2

3

；
②當(dāng)P、Q在y軸的兩側(cè)；
當(dāng)PB=OQ時(shí)，Q、C重合，P、A重合，此時(shí)t=4；
當(dāng)OB²=PB•QO時(shí)，t（3t-8）=4，
即3t²-8t-4=0，
解得t=

4±2 7

3

；
∵t=

4-2 7

3

＜0，故舍去；
∴t=

4+2 7

3

；（11分）
∴當(dāng)t=2或t=

2

3

，4或t=

4+2 7

3

秒時(shí)，以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似．（12分）

點(diǎn)評：此題是二次函數(shù)的綜合類試題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、等腰梯形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識點(diǎn)，在求有關(guān)動點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．