Question

已知二次函數(shù)y=-

1

2

x2+mx+

3

2

的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-3，-6），并且該拋物線與x軸交于B、C兩點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)為E，P為拋物線的頂點(diǎn)．如圖所示．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)表達(dá)式．
（2）設(shè)點(diǎn)D為線段OC上的一點(diǎn)，且滿足∠DPC=∠BAC，說明直線PC與直線AC的位置關(guān)系，并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）在（1）中的拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使S_△BCF=

3

4

S_△BCP？若存在，請直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=-

1

2

x2+mx+

3

2

可求出m，從而確定二次函數(shù)的解析式；
（2）先把二次函數(shù)配成頂點(diǎn)式得到頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（a，0），過點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，過點(diǎn)A作AQ⊥x軸，垂足為Q，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得到
△PCH和△AQC都是等腰直角三角形，則∠PCH=45°，∠ACQ=45°，于是得到直線PC與直線AC垂直；由∠DPC=∠BAC，∠PCD=∠ACB得到△PDC∽Rt△ABC，根據(jù)相似比有

DC

BC

=

PC

AC

，即

3-a

4

=

2 2

6 2

，解得a=

5

3

，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）先計(jì)算出S_△BCP=4，則S_△BCF=

3

4

S_△BCP=3，設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則

1

2

×4×|y|=3，解得y=

3

2

或-

3

2

，然后分別代入二次函數(shù)解析式中求出對應(yīng)的x的值，從而得到F點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（-3，-6）在拋物線上，
∴-6=-

1

2

×9-3m+

3

2

，
解得m=1，
∴所求二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-

1

2

x²+x+

3

2

；
（2）∵y=-

1

2

x²+x+

3

2

=-

1

2

（x-1）²+2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
如圖，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（a，0），過點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，
過點(diǎn)A作AQ⊥x軸，垂足為Q，
令y=0得-

1

2

x²+x+

3

2

=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）
∵P（1，2），A（-3，-6），
∴PH=HC=2，QA=QC=6，
∴△PCH和△AQC都是等腰直角三角形，
∴∠PCH=45°，∠ACQ=45°，
∴∠PCA=90°，
∴PC⊥CA；
∵∠DPC=∠BAC，∠PCD=∠ACB，
∴△PDC∽Rt△ABC，
∴

DC

BC

=

PC

AC

，即

3-a

4

=

2 2

6 2

，解得a=

5

3

，
∴D坐標(biāo)為（

5

3

，0）；
（3）存在．
∵S_△BCP=

1

2

×4×2=4，
而S_△BCF=

3

4

S_△BCP，
∴S_△BCF=3，
設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）
∴

1

2

×4×|y|=3，
∴y=

3

2

或-

3

2

，
當(dāng)y=

3

2

時(shí)，-

1

2

x²+x+

3

2

=

3

2

，解得x₁=0，x₂=2；
當(dāng)y=-

3

2

時(shí)，-

1

2

x²+x+

3

2

=-

3

2

，解得x₁=1+

7

，x₂=1-

7

，
∴F（0，

3

2

）或（2，

3

2

）或（1+

7

，-

3

2

）或（1-

7

，-

3

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：先根據(jù)幾何條件確定拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式，然后運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題．