Question

（2013•安慶一模）矩形ABCD中，AD=4cm，AB=3cm，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C開(kāi)始沿邊CB向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)沿邊DC向點(diǎn)C以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C停止，如圖可得到矩形CFHE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（單位：s），此時(shí)矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面積為y（單位：cm²）
（1）請(qǐng)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（2）試求出y的最小值；
（3）是否存在某一時(shí)間x，使得矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面積為原矩形面積的一半？若存在，求出此時(shí)x值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)y=S_矩形ABCD-S_矩形ECFH就分情況討論，當(dāng)0≤x≤2時(shí)或當(dāng)2≤x≤3時(shí)分別可以求出其解析式就即可；
（2）將二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式就可以得出最小值，一次函數(shù)的由自變量的取值范圍就可以得出最小值；
（3）由矩形的面積可以知道一半的值，由第二問(wèn)的數(shù)值的比較可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，CE=2xcm，DF=xcm
∴CF=（3-x）cm．
當(dāng)0≤x≤2時(shí)，
∴y=12-2x（3-x），
y=2x²-6x+12，
當(dāng)2＜x≤3時(shí)
y=12-4（3-x），
y=4x．
∴y=

2x2-6x+12(0≤x≤2) 4x                (2≤x≤3)

；

（2）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，
y=2x²-6x+12，
∴y=2（x²-3x）+12，
y=2（x-1.5）²+7.5．
∴a=2＞0，拋物線的開(kāi)口向上，y由最小值，
∴當(dāng)x=1.5時(shí)，y_最小=7.5
當(dāng)2≤x≤3時(shí)，y=4x，
∴k=4＞0，y隨x的增大而增大，
∴x=2時(shí)，y最小=8，
∴x=1.5時(shí)，y_最小=7.5；

（3）不存在，
∵

1

2

S_矩形ABCD=12×

1

2

=6，
當(dāng)x=

3

2

時(shí)，y最小=

15

2

，
6＜7.5，
∴不存在某一時(shí)間x，使得矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面積為原矩形面積的一半．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的面積公式的運(yùn)用，二次函數(shù)的解析式及一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，分段函數(shù)的運(yùn)用，一次函數(shù)的最值和二次函數(shù)的最值的確定，解答時(shí)先求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．