Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，角BAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，M為AB邊中點(diǎn)，N是AD上的動(dòng)點(diǎn)．

①在圖上作出使得BN+MN的和最小時(shí)點(diǎn)N的位置，并說(shuō)明理由．

②求出BN+MN的最小值．（提示：Rt△ABC中，∠C＝90°，則有AC2+BC2＝AB2成立）

Answer 1

【答案】①詳見(jiàn)解析；②BN+MN最小值為2.

【解析】

①連接CM，交AD于點(diǎn)N，由題意可得直線(xiàn)AD是等邊△ABC的對(duì)稱(chēng)軸，即CN＝BN，則BN+MN＝CN+MN，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，可得當(dāng)點(diǎn)N在CM上時(shí)，BN+MN最短；

②利用勾股定理可求CM的長(zhǎng)度，即可得BN+MN的最小值

解：①如圖：連接CM，交AD于點(diǎn)N

∵AD是等邊△ABC的角平分線(xiàn)，

∴直線(xiàn)AD是等邊△ABC的對(duì)稱(chēng)軸

∴BN＝CN

∴BN+MN＝CN+MN

根據(jù)兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，當(dāng)點(diǎn)N在線(xiàn)段CM上時(shí)，BN+MN最短．

即點(diǎn)N位于CM與AD的交點(diǎn)時(shí)，BN+MN最短．

②當(dāng)點(diǎn)N在CM上時(shí)，BN+MN最短，即BN+MN最小值為CM的長(zhǎng)度

∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)

∴AM＝BM＝2

在Rt△ACM中，CM＝＝2

∴BN+MN最小值為2