Question

某旅游區(qū)有一個景觀奇異的望天洞，D點是洞的入口，游人從入口進洞游覽后，可經(jīng)山洞到達山頂?shù)某隹跊鐾�A處觀看旅游區(qū)風景，最后坐纜車沿索道AB返回山腳下的B處．在同一平面內(nèi)，若測得斜坡BD的長為100米，坡角∠DBC=10°，在B處測得A的仰角∠ABC=40°，在D處測得A的仰角∠ADF=85°，過D點作地面BE的垂線，垂足為C．
（1）求∠ADB的度數(shù)；
（2）求索道AB的長．（結果保留根號）

Answer 1

分析：（1）利用點D處的周角即可求得∠ADB的度數(shù)；
（2）首先分析圖形，根據(jù)題意構造直角三角形．本題涉及到兩個直角三角形，應利用其公共邊構造三角關系，進而可求出答案．

解答：解：（1）∵DC⊥CE，
∴∠BCD=90°．
又∵∠DBC=10°，
∴∠BDC=80°．                        （1分）
∵∠ADF=85°，
∴∠ADB=360°-80°-90°-85°=105°．  （2分）

（2）過點D作DG⊥AB于點G．              （3分）
在Rt△GDB中，
∠GBD=40°-10°=30°，
∴∠BDG=90°-30°=60°．             （4分）
又∵BD=100米，
∴GD=

1

2

BD=100×

1

2

=50米．
∴GB=BD×cos30°=100×

3

2

=50

3

米．    （6分）
在Rt△ADG中，∠ADG=105°-60°=45°，（7分）
∴GD=GA=50米．                        （8分）
∴AB=AG+GB=（50+50

3

）米．                （9分）
答：索道長（50+50

3

）米．               （10分）

點評：本題考查仰角的定義及直角三角形的解法，首先構造直角三角形，再借助角邊關系、三角函數(shù)的定義解題．