Question

如圖，點(diǎn)P（a，b）和點(diǎn)Q（c，d）是反比例函數(shù)y=

1

x

圖象上第一象限內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（a＜b，a≠c），且始終有OP=OQ．
（1）求證：a=d，b=c；
（2）P₁是點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，Q₁是點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接P₁Q₁分別交OP、OQ于點(diǎn)M、N．
①求證：PQ∥P₁Q₁；
②求四邊形PQNM的面積S能否等于

8

5

？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于點(diǎn)P（a，b）和點(diǎn)Q（c，d）是反比例函數(shù)y=

1

x

圖象上第一象限內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，所以可用含a、c的代數(shù)式分別表示b、d，然后由OP=OQ，列出等式，將式子變形，即可得出結(jié)果；
（2）①首先求出點(diǎn)P₁、Q₁的坐標(biāo)，根據(jù)（1）的結(jié)論，把點(diǎn)P₁、Q₁、P、Q四點(diǎn)的坐標(biāo)都用含a、b的代數(shù)式分別表示，然后運(yùn)用待定系數(shù)法分別求出直線PQ與直線P₁Q₁的解析式，發(fā)現(xiàn)它們的斜率相同，因而得出PQ∥P₁Q₁．
②如果設(shè)PP₁與y軸交于點(diǎn)A，QQ₁與x軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，則S_△OPQ=S_梯形PDBQ=

1

2

（a+b）（b-a）．設(shè)直線MN與y軸交于點(diǎn)E，PQ與y軸交于點(diǎn)C．根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，得出S_△OMN的值，再根據(jù)四邊形PQNM的面積S等于

8

5

，列出方程，求出解即可．

解答：（1）證明：∵點(diǎn)P（a，b）和點(diǎn)Q（c，d）是反比例函數(shù)y=

1

x

圖象上第一象限內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（a＜b，a≠c），
∴ab=1，cd=1，
即b=

1

a

，d=

1

c

．
又∵OP=OQ，
∴a²+b²=c²+d²，
即a²+(

1

a

)²=(

1

d

)²+d²，
∴a⁴d²+d²=a²+a²d⁴，
∴a⁴d²-a²d⁴=a²-d²，
∴a²d²（a²-d²）-（a²-d²）=0
∴（ad-1）（a-d）=0
∵ad≠1，
∴a=d，
同理可得b=c；

（2）①證明：∵P₁是點(diǎn)P（a，b）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，∴P₁（-a，b），
由（1）知，a=d，b=c，∴Q（c，d）即為Q（b，a），
∵Q₁是點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，∴Q₁（b，-a），
運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線PQ的解析式為y=-x+a+b，直線P₁Q₁的解析式為y=-x+b-a，
∴PQ∥P₁Q₁

②解：如圖，設(shè)PP₁與y軸交于點(diǎn)A，QQ₁與x軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．
則S_△OPQ=S_{五邊形OAPQB}-S_△OAP-S_△OQB=S_{五邊形OAPQB}-S_△OAP-S_△OPD=S_梯形PDBQ=

1

2

（a+b）（b-a）．
設(shè)直線MN與y軸交于點(diǎn)E，PQ與y軸交于點(diǎn)C．
則C（0，a+b），E（0，b-a）
∵M(jìn)N∥PQ，∴△OMN∽△OPQ，
∴

OM

OP

=

OE

OC

=

MN

PQ

，又OE=b-a，OC=a+b，
∴S_△OMN：S_△OPQ=（MN：PQ）²=（OE：OC）²=（

b-a

a+b

）²，
∴S_△OMN=

1

2

（a+b）（b-a）•（

b-a

a+b

）²=

1

2

•

(b-a)3

a+b

，
∴S_{四邊形PQNM}=S_△OPQ-S_△OMN=

1

2

（a+b）（b-a）-

1

2

•

(b-a)3

a+b

=

1

2

（b-a）•

(a+b)2-(a-b)2

a+b

=

1

2

（b-a）•

4

a+b

=

8

5

，
解得b=9a，
∵ab=1，
∴a=

1

3

，b=3．
∴P（

1

3

，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，難度很大．