Question

已知：正比例函數(shù)y₁=k₁x（k₁≠0）和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A（）．
（1）求滿足條件的正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點P是反比例函數(shù)圖象上的點，且點P到x軸和正比例函數(shù)圖象的距離相等，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）把A（1，）分別代入y₁=k₁x（k₁≠0）和得k₁=，k₂=，
所以正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式分別為y=x，y=；

（2）作PB⊥x軸于B，AC⊥x軸于C，如圖，
∵A點坐標(biāo)為（），即AC=，OC=1，
∴tan∠AOC=，
∴∠AOC=60°，
∵點P到x軸和正比例函數(shù)圖象的距離相等，
∴∠POB=30°，
設(shè)P點坐標(biāo)（a，b），則a=b，即P點坐標(biāo)為（b，b），
設(shè)直線OP的解析式為y=mx，
把（b，b）代入得b=b•m，
∴m=，
解方程組得或，
∴點P的坐標(biāo)為（，1）或（-，-1）．
分析：（1）把A（1，）分別代入y₁=k₁x（k₁≠0）和即可求得k₁，k₂的值；
（2）作PB⊥x軸于B，AC⊥x軸于C，根據(jù)A點坐標(biāo)可得到∠AOC=60°，由于點P到x軸和正比例函數(shù)圖象的距離相等，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠POB=30°，設(shè)P點坐標(biāo)（a，b），則a=b，即P點坐標(biāo)為（b，b），設(shè)直線OP的解析式為y=mx，則可求出m=，然后解由反比例函數(shù)的解析式和直線OP的解析式組成的方程組即可得到點P的坐標(biāo)．
點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及角平分線的性質(zhì)．