Question

（2012•南充）在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點(diǎn)，把一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點(diǎn)A、B．
（1）求證：MA=MB；
（2）連接AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，△AOB的周長是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)M作ME⊥OP于點(diǎn)E，作MF⊥OQ于點(diǎn)F，可得四邊形OEBF是矩形，根據(jù)三角形的中位線定理可得ME=MF，再根據(jù)同角的余角相等可得∠AME=∠BMF，再利用“角邊角”證明△AME和△BMF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明；
（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=BF，設(shè)OA=x，表示出AE為2-x，即BF的長度，然后表示出OB=2+（2-x），再利用勾股定理列式求出AM，然后根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的

2

倍表示出AB的長度，然后根據(jù)三角形的周長公式列式判斷出△AOB的周長隨AB的變化而變化，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出周長最小時的x的值，然后解答即可．

解答：（1）證明：如圖，過點(diǎn)M作ME⊥OP于點(diǎn)E，作MF⊥OQ于點(diǎn)F，
∵∠O=90°，
∴四邊形OEMF是矩形，
∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)，OP=OQ=4，∠O=90°，
∴ME=

1

2

OQ=2，MF=

1

2

OP=2，
∴ME=MF，
∴四邊形OEMF是正方形，
∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，
∴∠AME=∠BMF，
在△AME和△BMF中，

∠AME=∠BMF ME=MF ∠AEM=∠BFM=90°

，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴MA=MB；

（2）解：有最小值，最小值為4+2

2

．
理由如下：根據(jù)（1）△AME≌△BMF，
∴AE=BF，
設(shè)OA=x，則AE=2-x，
∴OB=OF+BF=2+（2-x）=4-x，
在Rt△AME中，AM=

AE2+ME2

=

(2-x)2+22

，
∵∠AMB=90°，MA=MB，
∴AB=

2

AM=

2

•

(2-x)2+22

=

2(2-x)2+8

，
△AOB的周長=OA+OB+AB=x+（4-x）+

2(2-x)2+8

=4+

2(2-x)2+8

，
所以，當(dāng)x=2，即點(diǎn)A為OP的中點(diǎn)時，△AOB的周長有最小值，最小值為4+

8

，
即4+2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，以及二次函數(shù)的最值問題，作出輔助線，把動點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為固定的三角形，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．