Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2），直線x=m（m＞2）與x軸交于點(diǎn)D．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）在直線x=m（m＞2）上有一點(diǎn)E（點(diǎn)E在第四象限），使得E、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以A、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求E點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；

（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得四邊形ABEF為平行四邊形？若存在，請求出F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+3x﹣2；

（2）E點(diǎn)坐標(biāo)為E1（m， ），E2（m，4﹣2m）；

（3）F點(diǎn)的坐標(biāo)為：F1（，﹣），F(xiàn)2（4，﹣6）．

【解析】試題分析：

（1）已知拋物線經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)，則可設(shè)拋物線的解析式為一般式，再將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入到一般式中，得到三元一次方程組即可求解；

（2）△AOC與△BDE都是直角三角形，除直角外，其它的對應(yīng)關(guān)系不確定，所以應(yīng)分兩類討論，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）A，B是兩個(gè)確定的點(diǎn)，E點(diǎn)的坐標(biāo)中含有m也可看作是確定的點(diǎn)，則可根據(jù)三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，確定第四個(gè)點(diǎn)F的坐標(biāo)，而點(diǎn)F在拋物線上，把F點(diǎn)的坐標(biāo)代入到拋物線中得到關(guān)于m的方程，則可求出點(diǎn)F的坐標(biāo).

解：（1）將點(diǎn)A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2）代入二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，得

解得a=﹣1，b=3，c=﹣2．

∴y=﹣x2+3x﹣2．（2分）

（2）∵AO=1，CO=2，BD=m﹣2，

當(dāng)△EDB∽△AOC時(shí)，得=，

即=，解得ED=，

∵點(diǎn)E在第四象限，

∴E1（m，），

當(dāng)△BDE∽△AOC時(shí)， =時(shí)，即=，

解得ED=2m﹣4，

∵點(diǎn)E在第四象限，

∴E2（m，4﹣2m）；

所以有E1（m，），E2（m，4﹣2m）.

（3）假設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)F，使得四邊形ABEF為平行四邊形，則

EF=AB=1，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m﹣1，

當(dāng)點(diǎn)E1的坐標(biāo)為（m，）時(shí)，點(diǎn)F1的坐標(biāo)為（m﹣1，），

∵點(diǎn)F1在拋物線的圖象上，

∴=﹣（m﹣1）2+3（m﹣1）﹣2，

∴2m2﹣11m+14=0，

∴（2m﹣7）（m﹣2）=0，

∴m=，m=2（舍去），

∴F1（，﹣），

當(dāng)點(diǎn)E2的坐標(biāo)為（m，4﹣2m）時(shí)，點(diǎn)F2的坐標(biāo)為（m﹣1，4﹣2m），

∵點(diǎn)F2在拋物線的圖象上，

∴4﹣2m=﹣（m﹣1）2+3（m﹣1）﹣2，

∴m2﹣7m+10=0，

∴（m﹣2）（m﹣5）=0，∴m=2（舍去），m=5，

∴F2（4，﹣6）．

所以F1（，﹣），F2（4，﹣6）．