Question

【題目】如圖，邊長為2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于點F，CE⊥AE，垂足為點E，EG⊥CD，垂足為點G，點H在邊BC上，BH=DF，連接AH、FH，FH與AC交于點M，以下結(jié)論：

①FH=2BH；②AC⊥FH；③S△ACF=1；④CE=AF；⑤=FGDG，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　　）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer 1

【答案】C

【解析】①②如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，∵AE平分∠DAC，∴∠FAD=∠CAF=22.5°，∵BH=DF，∴△ABH≌△ADF，∴AH=AF，∠BAH=FAD=22.5°，∴∠HAC=∠FAC，∴HM=FM，AC⊥FH，∵AE平分∠DAC，∴DF=FM，∴FH=2DF=2BH，故選項①②正確；

③在Rt△FMC中，∠FCM=45°，∴△FMC是等腰直角三角形，∵正方形的邊長為2，∴AC=，MC=DF=﹣2，∴FC=2﹣DF=2﹣（﹣2）=4﹣，S△AFC=CFAD≠1，所以選項③不正確；

④AF===，∵△ADF∽△CEF，∴，∴，∴CE=，∴CE=AF，故選項④正確；

⑤在Rt△FEC中，EG⊥FC，∴=FGCG，cos∠FCE=，∴CG===1，∴DG=CG，∴=FGDG，故選項⑤正確；

本題正確的結(jié)論有4個，

故選C．