Question

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是CD和CB的延長線上的點，且DE=BF，連結AE、AF．
（1）求證：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE繞著點

 

，順時針旋轉(zhuǎn)

 

度得到；
（3）若AD=8，S_△AEF：S_△CEF=5：3，求DE的長．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由在正方形ABCD中，E、F分別是CD和CB的延長線上的點，且DE=BF，利用SAS，即可證得：△ADE≌△ABF；
（2）由（1）可得：△ABF可以由△ADE繞著點A，順時針旋轉(zhuǎn)90°得到；
（3）首先設DE=x，則EC=8-x，F(xiàn)C=8+x，AE²=8²+x²，易得△AFE是等腰直角三角形，由S_△AEF：S_△CEF=5：3，可得方程：

1

2

（8²+x²）：

1

2

（8+x）（8-x）=5：3，解此方程即可求得答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∴D=∴ABC=90°，
∴∠ABF=90°=∠D，
在△ABF和△ADE中，

AB=AD ∠ABF=∠D BF=DE

，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；

（2）由（1）可得：△ABF可以由△ADE繞著點A，順時針旋轉(zhuǎn)90°得到；
故答案為：A，90；

（3）解：設DE=x，則EC=8-x，F(xiàn)C=8+x，AE²=8²+x²，
∵△ABF≌△ADE，
∴AF=AE，∠FAB=∠EAD，
∴∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∵S_△AEF：S_△CEF=5：3，
∴

1

2

（8²+x²）：

1

2

（8+x）（8-x）=5：3，
解得：x₁=4，x₂=-4（舍去），
∴DE=4．

點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．