為了改善市民的生活環(huán)境,我市在某河濱空地處修建一個如圖所示的休閑文化廣場,在Rt△ABC內(nèi)修建矩形水池DEFG,使定點D,E在斜邊AB上,F(xiàn),G分別在直角邊
BC,AC上;又分別以AB,BC,AC為直徑作半圓,它們交出兩彎新月(圖中陰影部分),兩彎新月部分栽植花草;其余空地鋪設(shè)瓷磚,其中AB=24數(shù)學(xué)公式米,∠BAC=60°,設(shè)EF=x米,DE=y米.
(1)求y與x之間的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)x為何值時,矩形DEFG的面積最大?最大面積是多少?
(3)求兩彎新月(圖中陰影部分)的面積,并求當(dāng)x為何值時,矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的數(shù)學(xué)公式?

解:(1)在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AB=24米,∠BAC=60°,
∴AC=AB=12米,BC=AC=36米,∠ABC=30°,
∴AD==x,BE==x,
∵AD+DE+BE=AB,
x+y+x=24,
∴y=24-x-x=24-x,
即y與x之間的函數(shù)解析式為y=24-x(0<x<18);

(2)∵y=24-x,
∴矩形DEFG的面積=xy=x(24-x)=-x2+24x=-(x-9)2+108,
∴當(dāng)x=9米時,矩形DEFG的面積最大,最大面積是108平方米;

(3)記AC、BC、AB為直徑的半圓面積分別為S1、S2、S3,兩彎新月面積為S,
則S1=πAC2,S2=πBC2,S3=πAB2
∵AC2+BC2=AB2,
∴S1+S2=S3
∴S1+S2-S=S3-S△ABC,
∴S=S△ABC
∴兩彎新月的面積S=AC•BC=×12×36=216(平方米).
如果矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的,
那么-(x-9)2+108=×216,
化簡整理,得(x-9)2=27,
解得x=9±3,符合題意.
所以當(dāng)x為(9±3)米時,矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的
分析:(1)先解Rt△ABC,得出AC=12米,BC=36米,∠ABC=30°,再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出AD=x,BE=x,然后根據(jù)AD+DE+BE=AB,列出y與x之間的關(guān)系式,進(jìn)而求解即可;
(2)先根據(jù)矩形的面積公式得出DEFG的面積=xy,再將(1)中求出的y=24-x代入,得出矩形DEFG的面積=xy=-x2+24x,然后利用配方法寫成頂點式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解;
(3)先證明兩彎新月的面積=△ABC的面積,再根據(jù)三角形的面積公式求出兩彎新月的面積,然后根據(jù)矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的列出關(guān)于x的一元二次方程,解方程即可求解.
點評:本題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用,其中涉及到矩形的性質(zhì),解直角三角形,三角函數(shù),勾股定理,二次函數(shù)的性質(zhì),三角形的面積等知識,綜合性較強,有一定難度.利用數(shù)形結(jié)合及方程思想是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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BC,AC上;又分別以AB,BC,AC為直徑作半圓,它們交出兩彎新月(圖中陰影部分),兩彎新月部分栽植花草;其余空地鋪設(shè)瓷磚,其中AB=24
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米,∠BAC=60°,設(shè)EF=x米,DE=y米.
(1)求y與x之間的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)x為何值時,矩形DEFG的面積最大?最大面積是多少?
(3)求兩彎新月(圖中陰影部分)的面積,并求當(dāng)x為何值時,矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013年初中畢業(yè)升學(xué)考試(山東濰坊卷)數(shù)學(xué)(帶解析) 題型:解答題

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(1)求y與x之間的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)x為何值時,矩形DEFG的面積最大?最大面積是多少?
(3)求兩彎新月(圖中陰影部分)的面積,并求當(dāng)x為何值時,矩形DEFG的面積等于兩彎新月面積的?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013年初中畢業(yè)升學(xué)考試(山東濰坊卷)數(shù)學(xué)(解析版) 題型:解答題

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