如圖,已知拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(0,﹣1),與x軸交于A、B兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)判斷△MAB的形狀,并說(shuō)明理由;
(3)過(guò)原點(diǎn)的任意直線(不與y軸重合)交拋物線于C、D兩點(diǎn),連接MC,MD,試判斷MC、MD是否垂直,并說(shuō)明理由.
 

(1)拋物線的解析式為:y=x2﹣1;
(2)△MAB是等腰直角三角形,理由見(jiàn)解析;
(3)MC⊥MF,理由見(jiàn)解析.

解析試題分析:(1)待定系數(shù)法即可解得.
(2)由拋物線的解析式可知OA=OB=OC=1,得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠BOM=45°從而得出△MAB是等腰直角三角形.
(3)分別過(guò)C點(diǎn),D點(diǎn)作y軸的平行線,交x軸于E、F,過(guò)M點(diǎn)作x軸的平行線交EC于G,交DF于H,設(shè)D(m,m2﹣1),C(n,n2﹣1),通過(guò)FG∥DH,得出,從而求得m、n的關(guān)系,根據(jù)m、n的關(guān)系,得出△CGM∽△MHD,即可求得結(jié)論.
試題解析:(1)∵拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(0,﹣1),
∴b=0,c=﹣1,
∴拋物線的解析式為:y=x2﹣1;
(2)△MAB是等腰直角三角形,
由拋物線的解析式為:y=x2﹣1可知A(﹣1,0),B(1,0),
∴OA=OB=OC=1,
∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠BOM=45°,
∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°
∵y軸是對(duì)稱軸,
∴A、B為對(duì)稱點(diǎn),
∴AM=BM,
∴△MAB是等腰直角三角形;
(3)MC⊥MF;分別過(guò)C點(diǎn),D點(diǎn)作y軸的平行線,交x軸于E、F,過(guò)M點(diǎn)作x軸的平行線交EC于G,交DF于H,

設(shè)D(m,m2﹣1),C(n,n2﹣1),
∴OE=﹣n,CE=1﹣n2,OF=m,DF=m2﹣1,
∵OM=1,
∴CG=n2,DH=m2
∵FG∥DH,
,

解得m=﹣
又∵=﹣n,
,
∵∠CGM=∠MHD=90°,
∴△CGM∽△MHD,
∴∠CMG=∠MDH,
∵∠MDH+∠DMH=90°
∴∠CMG+∠DMH=90°,
∴∠CMD=90°,
即MC⊥MF.
考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

若二次函數(shù)y=x2-4x+c的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn),其中c為整數(shù),則c=_________(只要求寫出一個(gè))

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

有下列4個(gè)命題:
①方程的根是
②在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D.若AD=4,BD=,則CD=3.
③點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x,y滿足x2+y2+2x﹣2y+2=0,若點(diǎn)P也在的圖象上,則k=﹣1.
④若實(shí)數(shù)b、c滿足1+b+c>0,1﹣b+c<0,則關(guān)于x的方程x2+bx+c=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且較大的實(shí)數(shù)根x0滿足﹣1<x0<1.
上述4個(gè)命題中,真命題的序號(hào)是   

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,已知拋物線y=2x2-2與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)寫出以A,B,C為頂點(diǎn)的三角形面積;
(2)過(guò)點(diǎn)E(0,6)且與x軸平行的直線l1與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)),以MN為一邊,拋物線上的任一點(diǎn)P為另一頂點(diǎn)做平行四邊形,當(dāng)平行四邊形的面積為8時(shí),求出點(diǎn)P、N的坐標(biāo);
(3)過(guò)點(diǎn)D(m,0)(其中m>1)且與x軸垂直的直線l2上有一點(diǎn)Q(點(diǎn)Q在第一象限),使得以Q,D,B為頂點(diǎn)的三角形和以B,C,O為頂點(diǎn)的三角形相似,求線段QD的長(zhǎng)(用含m的代數(shù)式表示).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0)和點(diǎn)(0,-3).
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)如果一次函數(shù)y=4x+m的圖象與二次函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求m的值和該公共點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)將二次函數(shù)圖象y軸左側(cè)部分沿y軸翻折,翻折后得到的圖象與原圖象剩余部分組成一個(gè)新的圖象,該圖象記為G,如果直線y=4x+n與圖象G有3個(gè)公共點(diǎn),求n的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),且OA=2OC.
(1)求這條拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)求的值;
(3)如果點(diǎn)D在這條拋物線的對(duì)稱軸上,且∠CAD=45º,求點(diǎn)D的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)),與軸交于點(diǎn)C,過(guò)動(dòng)點(diǎn)H(0, )作平行于軸的直線,直線與二次函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)D,E.
(1)寫出點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)若,以DE為直徑作⊙Q,當(dāng)⊙Q與軸相切時(shí),求的值;
(3)直線上是否存在一點(diǎn)F,使得△ACF是等腰直角三角形?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,我們不妨把橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“夢(mèng)之點(diǎn)”,例如點(diǎn)(﹣1,﹣1),(0,0),(,),…都是“夢(mèng)之點(diǎn)”,顯然,這樣的“夢(mèng)之點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè).
(1)若點(diǎn)P(2,m)是反比例函數(shù)y=(n為常數(shù),n≠0)的圖象上的“夢(mèng)之點(diǎn)”,求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式;
(2)函數(shù)y=3kx+s﹣1(k,s是常數(shù))的圖象上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”嗎?若存在,請(qǐng)求出“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若二次函數(shù)y=ax2+bx+1(a,b是常數(shù),a>0)的圖象上存在兩個(gè)不同的“夢(mèng)之點(diǎn)”A(x1,x1),B(x2,x2),且滿足﹣2<x1<2,|x1﹣x2|=2,令t=b2﹣2b+,試求出t的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,2),B(0,1)和點(diǎn)C
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,若拋物線的頂點(diǎn)為P,點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為M,過(guò)M的直線交拋物線于另一點(diǎn)N(N在對(duì)稱軸右邊),交對(duì)稱軸于F,若,求點(diǎn)F的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,在y軸上是否存在點(diǎn)G,使△BMA與△MBG相似?若存在,求點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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