Question

已知，⊙O為△ABC的外接圓，AB=BC．
（1）如圖1，若AC=2，BC=

10

，求cos∠CBO的值；
（2）如圖2，過B作⊙O的切線交直徑AD的延長線于E，BC交AD于M，若OM：OA=2：5，求tan∠E的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理,垂徑定理,銳角三角函數(shù)的定義

專題：

分析：（1）延長BO交AC于H點(diǎn)，由AB=CB得弧BA=弧BC，根據(jù)垂徑定理的推論得BH垂直AC，且CH=AH，則CH=1，再利用勾股定理計(jì)算出BH，然后根據(jù)余弦的定義求解；
（2）和（1）一樣得到BO垂直AC，OM=2a，OA=5a，則MD=3a，根據(jù)切線的性質(zhì)得OB⊥BE，則AC∥BE，所以∠E=∠HAO；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得∠MBO=∠OBA，而∠OBA=∠OAB，則∠MBO=∠MAB，于是可判斷△MOB∽△MBA，利用相似比可計(jì)算出BM=

14

a，再根據(jù)相交弦定理可計(jì)算出MC=

3 14

2

a，所以BC=

5 14

2

a，即BA=

5 14

2

a，在RtABH和RtAOH中利用勾股定理可計(jì)算出OH與AH，然后根據(jù)正切的定義求解．

解答：解：（1）延長BO交AC于H點(diǎn)，如圖1，
∵AB=CB，
∴弧BA=弧BC，
∴BH垂直AC，且CH=AH，
∴CH=

1

2

AC=1，
在Rt△BCH中，BC=

10

，
∴BH=

BC2-CH2

=3，
∴cos∠CBH=

BH

BC

=

3

10

=

3 10

10

，
即cos∠CBO的值為

3 10

10

；

（2）延長BO交AC于H點(diǎn)，如圖2，
則BH垂直AC，且CH=AH，設(shè)OM=2a，OA=5a，則MD=3a，
∵BE為⊙O的切線，
∴OB⊥BE，
∴AC∥BE，
∴∠E=∠HAO，
∵BH平分∠ABC，
∴∠MBO=∠OBA，
而∠OBA=∠OAB，
∴∠MBO=∠MAB，
∵∠OMB=∠BMA，
∴△MOB∽△MBA，
∴OM：BM=BM：MA，即2a：BM=BM：7a，
∴BM=

14

a，
∵M(jìn)A•MD=MB•MC，即7a•3a=

14

a•MC，
∴MC=

3 14

2

a，
∴BC=MC+MB=

5 14

2

a，
∴BA=

5 14

2

a，
在RtABH中，AB²=BH²+AH²，即（

5 14

2

a）²=（OH+5a）²+AH²①，
在RtAOH中，AO²=OH²+AH²，即（5a）²=OH²+AH²②，
由①②可解得OH=

15

4

a，AH=

5 7

4

a，
∴tan∠HAO=

OH

AH

=

3 7

7

，
∴tan∠E=

3 7

7

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理、垂徑定理、銳角三角函數(shù)的定義和三角形相似的判定與性質(zhì)．