Question

如圖，一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，PC⊥x軸于點(diǎn)C，延長PC交反比例函數(shù)（x＜0）的圖象于點(diǎn)Q，且tan∠AOQ=．
（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為______，B點(diǎn)坐標(biāo)為______；
（2）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（3）連接OP、AQ，求證：四邊形APOQ是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)易得A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0）；B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2）；
（2）由P為AB的中點(diǎn)，PC⊥x軸，易得OC=OA=2和C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），再根據(jù)正切的定義得到=，則QC=1，可確定Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，1），然后把Q（-2，1）代入y=即可求出k的值；
（3）先確定P點(diǎn)坐標(biāo)（-2，-1），則點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，即CQ=CP，又∵OC=AC，OA⊥PQ，根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形為菱形即可得到結(jié)論．
解答：（1）解：對(duì)于y=-x-2，令y=0，則-x-2=0，解得x=-4，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0）；
令x=0，則y=-2，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2）；
故答案為（-4，0）；（0，-2）；

（2）解：∵P為AB的中點(diǎn)，PC⊥x軸，
∴C為OA的中點(diǎn)，即OC=OA=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
又∵tan∠AOQ=，
∴=，
∴QC=1，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，1），
把Q（-2，1）代入y=得k=-2，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-；

（3）證明：∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
把x=-2代入y=-x-2得y=-1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），
而Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，1），
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴CQ=CP，
又∵OC=AC，OA⊥PQ，
∴四邊形APOQ是菱形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：先根據(jù)幾何條件確定某些點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式，再運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決問題．也考查了菱形的判定．