Question

如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N．

（1）求證：CM=CN；

（2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，求的值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：由折疊的性質(zhì)可得：∠ANM=∠CNM，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC�！唷螦NM=∠CMN。

∴∠CMN=∠CNM�！郈M=CN。

（2）過點N作NH⊥BC于點H，則四邊形NHCD是矩形。

∴HC=DN，NH=DC。

∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，

∴。

∴MC=3ND=3HC�！郙H=2HC。

設DN=x，則HC=x，MH=2x，∴CM=3x=CN。

在Rt△CDN中，，∴HN=。

在Rt△MNH中，，∴。

【解析】

試題分析：（1）由折疊的性質(zhì)可得：∠ANM=∠CNM，由四邊形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，則可證得∠CMN=∠CNM，繼而可得CM=CN。

（2）首先過點N作NH⊥BC于點H，由△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，易得MC=3ND=3HC，然后設DN=x，由勾股定理，可求得MN的長，繼而求得答案。