Question

（2011•泰寧縣質(zhì)檢）如圖菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線(xiàn)BD=2，E、F分別是AD、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足AE+CF=2．
（1）求證：△BDE≌△BCF；
（2）判斷△BEF的形狀，并說(shuō)明理由．同時(shí)指出△BCF是由△BDE經(jīng)過(guò)如何變換得到？

Answer 1

分析：（1）先判定△ABD與△BCD都是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠BDE=∠C=60°，再求出DE=CF，然后利用“邊邊角”證明兩三角形全等；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=CF，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠DBE=∠CBF，然后求出∠EBF=60°，再根據(jù)等邊三角形的判定得解，利用旋轉(zhuǎn)變換解答．

解答：（1）證明：∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線(xiàn)BD=2，
∴AB=AD=BD=2，BC=CD=BD=2，
∴△ABD與△BCD都是等邊三角形，
∴∠BDE=∠C=60°，
∵AE+CF=2，
∴CF=2-AE，
又∵DE=AD-AE=2-AE，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，

DE=CF ∠BDE=∠C=60° BD=BC

，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；

（2）解：△BEF是等邊三角形．理由如下：
由（1）可知△BDE≌△BCF，
∴BE=BF，∠DBE=∠CBF，
∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=∠CBF+∠DBF=∠DBC=60°，
∴△BEF是等邊三角形，
由圖可知，△BDE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°即可得到△BCF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的四條邊都相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)變換，根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)BD與菱形的邊相等判定出等邊三角形是解題的關(guān)鍵．